2007-福建卷理-03 单-集合包含关系

本题导读

本题考查集合的交、并、补基本运算以及利用数轴确定参数范围。核心在于理清补集之后与另一集合并集构成全集 $\mathbf{R}$ 的动态边界分布，通过数轴直接锁定参数 $a$ 的不等式范围。

📌【题干】

Question

（2007年福建卷(理)） 已知集合 $A=\{x|x<a\}$，$B=\{x|1<x<2\}$，且 $A\cup ({\complement }_{\mathbf{R}}B)=\mathbf{R}$，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $a\le 1$　　　　　B. $a<1$　　　　　C. $a\ge 2$　　　　　D. $a>2$

🔍【思路分析】

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1. 求出集合 $B$ 的补集：已知 $B=(1,2)$，则其在实数全集 $\mathbf{R}$ 上的补集为： ${\complement }_{\mathbf{R}}B=\{x|x\le 1\text{ 或 }x\ge 2\}=(-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$。
2. 分析并集构成全集的几何条件：

• 补集挖掉了开区间 $(1,2)$。

• 必须靠集合 $A=(-\infty ,a)$ 的并入把这个被挖掉的空洞 $(1,2)$ 完全填满。

• 观察数轴，要完全覆盖开区间 $(1,2)$ 并一直向左延伸，集合 $A$ 的右边界点 $a$ 必须一路跨过右侧的缺口界限 2，即 $a$ 必须大于等于 2。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：因为集合 $B=\{x|1<x<2\}$， 根据补集的数理定义，其在实数集 $\mathbf{R}$ 上的补集为： ${\complement }_{\mathbf{R}}B=\{x|x\le 1\text{或}x\ge 2\}$

and [2, +infinity). The interval (1, 2) is a gap. The set A = (-infinity, a) is drawn template style over the line, illustrating that ‘a’ must be at least 2 to fill the gap and ensure the union with complement of B equals the entire real line R.]

已知等式约束为 $A\cup ({\complement }_{\mathbf{R}}B)=\mathbf{R}$。 在数轴上几何具象化展现： ${\complement }_{\mathbf{R}}B$ 将全集 $\mathbf{R}$ 中的开区间 $(1,2)$ 留出了一个断层空洞。 要使集合 $A=\{x|x<a\}$ 与 ${\complement }_{\mathbf{R}}B$ 的并集无缝覆盖整个实数轴 $\mathbf{R}$，集合 $A$ 的开区间范围 $(-\infty ,a)$ 必须能够完全吞没这个缺失的断层区域 $(1,2)$。

因此，边界点 $a$ 必须分布在右侧端点 2 的右边或与其重合： $a\ge 2$ (注：当 $a=2$ 时， $A=(-\infty ,2)$，其与 $[2,+\infty )$ 在 2 处完美衔接，空洞仍被完全填满，故等号成立。)

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：补集端点变号规律（开变闭）、并集覆盖数轴模型。
2. 核心方法：数轴几何判定法。
3. 避坑指南：

• 此类题目最大的翻车点在于边界等号的判定。容易在 C 和 D 选项之间犹豫。牢记只要把 $a=2$ 尝试代回原式看是否符合条件即可（ $A\cup {\complement }_{\mathbf{R}}B=(-\infty ,2)\cup (-\infty ,1]\cup [2,+\infty )=\mathbf{R}$，完全合规），以此排除 D 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的补集与并集运算、集合的包含关系（全集映射）是福建卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是集合的补集与并集运算、集合的包含关系（全集映射）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数轴法、边界值判定法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2008-天津卷理-06 单-绝对值不等式
• 2008-湖北卷文-03 单-集合包含与充要条件
• 2008-福建卷理-02 单-集合