2007-辽宁卷文-18 解-直三棱柱垂直与距离

本题导读

本题考查直三棱柱。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AC=BC=a$，$D$、$E$ 分别为棱 $AB$、$BC$ 的中点，$M$ 为棱 $A{A}_1$ 上的点，二面角 $M-DE-A$ 为 $30^{\circ }$． （1）证明：$A_1{B}_1\perp C_{1}D$； （2）求 $MA$ 的长，并求点 $C$ 到平面 $MDE$ 的距离．

🔍【思路分析】

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1. 以 $C$ 为原点、$CA$、$CB$、$C{C}_1$ 为轴建系，用坐标表示各点。
2. （1）算 $\overrightarrow{A_1{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}D}=0$。
3. （2）$DE\parallel x$ 轴，二面角的平面角在垂直于 $DE$ 的截面内：$\tan 30^{\circ }=\frac{MA}{AD}$，$AD=\frac{a}{2}$；再用平面 $MDE$ 的方程求 $C$ 到它的距离。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$MA=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，点 $C$ 到平面 $MDE$ 的距离为 $\frac{a}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $C$ 为原点，$CA$、$CB$、$C{C}_1$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建立空间直角坐标系，设 $A{A}_1=h$，$MA=m$，则 $C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),D\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right),E\left(0,\frac{a}{2},0\right),$ $C_1(0,0,h),A_1(a,0,h),B_1(0,a,h),M(a,0,m).$ （1） $\overrightarrow{A_1{B}_1}=(-a,a,0)$，$\overrightarrow{C_{1}D}=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},-h\right)$， $\overrightarrow{A_1{B}_1}\cdot \overrightarrow{C_{1}D}=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+0=0,$ 故 $A_1{B}_1\perp C_{1}D$． （2） 直线 $DE$ 平行于 $x$ 轴，二面角 $M-DE-A$ 的平面角在过 $M$ 且垂直于 $DE$ 的截面（平面 $x=a$）内：该截面内，棱上一点为 $(a,\frac{a}{2},0)$，半平面 $A$ 沿 $-y$ 方向，半平面 $M$ 的方向向量为 $\left(0,-\frac{a}{2},m\right)$，故 $\tan 30^{\circ }=\frac{m}{a/2}=\frac{2m}{a}⟹m=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}a,$ 即 $MA=\frac{\sqrt{3}}{6}a$． 平面 $MDE$ 过点 $D$、$E$、$M$，其方程为 $2my+az-am=0.$ 点 $C(0,0,0)$ 到平面 $MDE$ 的距离为 $d=\frac{|-am|}{\sqrt{4m^2+a^2}}=\frac{am}{\sqrt{4m^2+a^2}}.$ 代入 $m=\frac{a}{2\sqrt{3}}$：$4m^2=\frac{a^2}{3}$，$\sqrt{4m^2+a^2}=\sqrt{\frac{4a^2}{3}}=\frac{2a}{\sqrt{3}}$，故 $d=\frac{a\cdot \frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{2a}{\sqrt{3}}}=\frac{a}{4}.$ 综上，$MA=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，点 $C$ 到平面 $MDE$ 的距离为 $\frac{a}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱垂直与距离

核心方法：建系用数量积证垂直，平面方程求距离

避坑指南：二面角 M-DE-A 的平面角要在垂直于 DE 的截面内找：tan30°=MA/(a/2)；等腰直角三角形（AC=BC 且 ∠ACB=90°）建系时 C 为原点最自然

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”空间向量与立体几何”

结论推广：直三棱柱 + 底面等腰直角三角形是”天然坐标系”模型

方法推广：点面距离可走平面方程/法向量，也可作垂面几何求解，坐标法对文科考生更稳

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练(Links)

• 2008-湖北卷文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角
• 2010-江苏卷-16 解-线面垂直与点面距离
• 2008-天津卷文-19 解-四棱锥垂直与二面角