2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角

本题导读

立体几何大题。(1) 取 $BC$ 中点 $F$，由中位线得 $AF\parallel DE$，故 $AF\perp$ 平面 $BC{C}_1$，三线合一证 $AB=AC$；(2) 建系由二面角 $60^{\circ }$ 定棱柱高，再求线面角 $30^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB\perp AC$，$D$、$E$ 分别为 $A{A}_1$、$B_{1}C$ 的中点，$DE\perp$ 平面 $BC{C}_1$.

(1)证明：$AB=AC$；

(2)设二面角 $A-BD-C$ 为 $60^{\circ }$，求 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

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1. (1) 取 $BC$ 中点 $F$，连接 $EF$、$AF$。$EF$ 为 $△B_{1}CB$ 中位线，$EF\parallel B{B}_1$ 且 $EF=\frac{1}{2}B{B}_1$；又 $AD\parallel EF$ 且 $AD=EF$，故 $AFED$ 为平行四边形，$DE\parallel AF$。
2. 于是 $AF\perp$ 平面 $BC{C}_1$，$AF\perp BC$；又 $F$ 为 $BC$ 中点，由三线合一得 $AB=AC$。
3. (2) 以 $A$ 为原点建系（$AB=AC=1$，$A{A}_1=h$），由二面角 $A-BD-C$ 为 $60^{\circ }$ 解出 $h=\sqrt{2}$，再求 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成角。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)$B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角为 $30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 取 $BC$ 的中点 $F$，连接 $EF$、$AF$。 在 $△B_{1}CB$ 中，$E$ 为 $B_{1}C$ 的中点，故 $EF$ 是中位线，$EF\parallel B{B}_1$ 且 $EF=\frac{1}{2}B{B}_1$。 又 $D$ 为 $A{A}_1$ 的中点，直棱柱中 $A{A}_1\parallel B{B}_1$，故 $AD\parallel EF$ 且 $AD=\frac{1}{2}A{A}_1=\frac{1}{2}B{B}_1=EF$， 所以 $AFED$ 为平行四边形，$DE\parallel AF$。 由 $DE\perp$ 平面 $BC{C}_1$ 得 $AF\perp$ 平面 $BC{C}_1$，从而 $AF\perp BC$。 又 $F$ 为 $BC$ 的中点，由等腰三角形的三线合一，得 $AB=AC$。

（2） 由 $AB\perp AC$、$AB=AC$，设 $AB=AC=1$，$A{A}_1=h$。以 $A$ 为原点、$AB$、$AC$、$A{A}_1$ 为 $x$、$y$、$z$ 轴建系： $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0),D=(0,0,\frac{h}{2}),B_1=(1,0,h).$ 平面 $ABD$ 即平面 $y=0$，其法向量 ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。 平面 $BCD$ 的法向量：$\overrightarrow{BC}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,0,\frac{h}{2})$，解得 ${\mathbf{n}}_2=\left(\frac{h}{2},\frac{h}{2},1\right).$ 由二面角 $A-BD-C$ 为 $60^{\circ }$： $\cos 60^{\circ }=\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\frac{h}{2}}{\sqrt{\frac{h^2}{2}+1}}=\frac{1}{2}⟹h^2=2,h=\sqrt{2}.$ 于是 $B_1=(1,0,\sqrt{2})$，$\overrightarrow{B_{1}C}=(-1,1,-\sqrt{2})$，${\mathbf{n}}_2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$。 设 $B_{1}C$ 与平面 $BCD$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{B_{1}C}\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|\overrightarrow{B_{1}C}||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{2}\right|}{2\times \sqrt{2}}=\frac{1}{2},$ 故所成的角为 $30^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与线面角

核心方法：中位线构造平行四边形 + 建系向量法

避坑指南：(1) 的关键是发现 $DE$ 与 $AF$ 平行（平行四边形 $AFED$）；(2) 中二面角 $60^{\circ }$ 用来定棱柱高 $h=\sqrt{2}$，这一步不能省。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱 + 中点 + 垂直是立体几何解答题标准版式。

结论推广：三角形中位线给出平行与长度减半；线面角 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{n}|}$。

方法推广：角度条件定未知量（如高）后再求目标角，是”先定量再求角”的通用节奏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2012-陕西卷文-18 解-直三棱柱垂直与体积
• 2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角