2007-辽宁卷理-05 单-三角函数在不同象限符号判定

本题导读

本题考查复数在复平面内对应点的象限判定。核心在于根据自变量 $\theta$ 的三角区间，确定复数的实部与虚部对应的代数式正负符号。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 若 $\theta \in \left(\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi \right)$，则复数 $(\cos \theta +\sin \theta )+(\sin \theta -\cos \theta )\text{i}$ 在复平面内对应的点在()

A. 第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. Fourth 象限

🔍【思路分析】

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1. 确定复数的实部与虚部：

• 实部 $x=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。
• 虚部 $y=\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$。

2. 特殊值秒杀：由于 $\theta \in \left(\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi \right)$，可以直接取该区间的中点特殊值 $\theta =\pi$ 代入实部与虚部，直接判定符号。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：法一（特殊值法）： 因为 $\theta \in \left(\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi \right)$， 我们可以在此开区间内取一个最简单的特殊值：令 $\theta =\pi$。 将 $\theta =\pi$ 代入复数的实部与虚部中（已知 $\cos \pi =-1,\sin \pi =0$）：

• 实部为： $\cos \pi +\sin \pi =-1+0=-1<0$；
• 虚部为： $\sin \pi -\cos \pi =0-(-1)=1>0$。

因为对应的复平面点坐标满足（实部 $<0$，虚部 $>0$），即坐标格式为 $(-,+)$， 根据笛卡尔直角坐标系象限划分规则，该点严格位于第二象限。

法二（三角函数性质法）： 因为 $\theta \in \left(\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi \right)$， 利用辅助角公式对实部与虚部进行变形：

• 实部 $x=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。 $\because \theta \in \left(\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi \right)⟹\theta +\frac{\pi }{4}\in (\pi ,\frac{3}{2}\pi )$。在这个正弦第三象限区间内， $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)<0$，故实部 $x<0$。
• 虚部 $y=\sin \theta -\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$。 $\because \theta \in \left(\frac{3}{4}\pi ,\frac{5}{4}\pi \right)⟹\theta -\frac{\pi }{4}\in (\frac{\pi }{2},\pi )$。在这个正弦第二象限区间内， $\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)>0$，故虚部 $y>0$。

综上，实部为负，虚部为正，点落在第二象限。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的实部虚部几何意义、三角函数符号分布。
2. 避坑指南：

• 考场上遇到此类范围确定的三角选择题，首选特殊值法（如直接令 $\theta =\pi$），可在 10 秒内安全得出结论，避开辅助角公式的繁琐范围推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复平面的几何概念、三角函数在不同象限的符号判定是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是复平面的几何概念、三角函数在不同象限的符号判定的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用特殊值代入法、符号定性分析法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2013-福建卷文-01 单-复数象限
• 2025-新高考I卷-05 单-函数性质