2007-辽宁卷理-20 解-向量数量积几何投影性质

本题导读

本题考查抛物线的性质与对称性。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 已知正三角形 $OAB$ 的三个顶点都在抛物线 $y^2=2x$ 上，其中 $O$ 为坐标原点，设圆 $C$ 是 $△OAB$ 的外接圆（点 $C$ 为圆心）.

(1) 求圆 $C$ 的方程；

(2) 设圆 $M$ 的方程为 $(x-4-7\cos \theta {)}^2+(y-7\sin \theta {)}^2=1$，过圆 $M$ 上任意一点 $P$ 分别作圆 $C$ 的两条切线 $PE、PF$，切点为 $E、F$，求 $\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}$ 的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 分解设问：本题分 4 问，逐问推进——先由题设条件求解基本量，再在所得结论基础上进一步计算或证明。
2. 方法选择：采用坐标代换与方程联立法，规范书写每一步的依据与结果。

✅【答案】

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抛物线𝑦2=2𝑥上的点可表示为(𝑠22,𝑠).设𝐴(𝑢22,𝑢),

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由于抛物线 $y^2=2x$ 关于 $x$ 轴对称，且 $△OAB$ 为正三角形， $O$ 为原点， 根据对称性， 顶点 $A,B$ 必然关于 $x$ 轴对称。 设 $A(x_1,y_1)$， 则 $B(x_1,-y_1)$， 其中 $y_1>0$。 因为 $△OAB$ 为正三角形， 故直线 $OA$ 的倾斜角为 $30^{\circ }$， 其斜率为 $\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 则直线 $OA$ 的方程为： $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x⟹x=\sqrt{3}y$ 将 $x=\sqrt{3}y$ 代入抛物线方程 $y^2=2x$ 中： $y^2=2\sqrt{3}y⟹y(y-2\sqrt{3})=0$ 因 $y_1>0$， 解得 $y_1=2\sqrt{3}$。 代回得 $x_1=\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}=6$。 故两顶点坐标为 $A(6,2\sqrt{3}),B(6,-2\sqrt{3})$。

正三角形的外接圆圆心 $C$ 与重心重合， 其坐标为： $x_C=\frac{0+6+6}{3}=4,y_C=\frac{0+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=0⟹C(4,0)$ 外接圆半径 $R$ 为圆心 $C$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离： $R=|OC|=4⟹R^2=16$ 所以， 圆 $C$ 的方程为： $(x-4{)}^2+y^2=16$

(2) 解： 设 $\angle ECF=\alpha$， 连结 $PC$。 $\because PE,PF$ 是圆 $C$ 的两条切线， $\therefore CE\perp PE,CF\perp PF$。 在 Rt$△PEC$ 中， $|CE|=R=4$， 故 $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{|CE|}{|PC|}=\frac{4}{|PC|}$。 根据向量数量积公式与二倍角公式： $\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}=|CE|\cdot |CF|\cdot \cos \alpha =4\times 4\times \cos \alpha =16(2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1)$ $\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}=16\left[2{\left(\frac{4}{|PC|}\right)}^2-1\right]=\frac{512}{|PC{|}^2}-16$

分析动点 $P$ 到圆心 $C(4,0)$ 的距离 $|PC|$： 圆 $M$ 的方程变形为参数方程形式， 其圆心为 $M_0(4+7\cos \theta ,7\sin \theta )$， 半径为 $r=1$。 圆心 $M_0$ 随 $\theta$ 变化， 其轨迹是满足 $(x_{M_0}-4{)}^2+y_{M_0}^2=49$ 的圆， 该圆圆心恰为 $C(4,0)$， 半径为 $R_M=7$。 由此可知， 圆 $M$ 的圆心 $M_0$ 到固定点 $C(4,0)$ 的距离恒为： $|M_{0}C|=7$ 点 $P$ 是圆 $M$ 上任意一点， 依据圆的几何最值原理， 点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离 $|PC|$ 的范围为： $|M_{0}C|-r\le |PC|\le |M_{0}C|+r⟹7-1\le |PC|\le 7+1$ $6\le |PC|\le 8⟹36\le |PC{|}^2\le 64$

代回数量积解析式中进行极值计算：

• 当 $|PC{|}^2=36$ 时， 数量积取得最大值： ${\left(\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}\right)}_{\text{max}}=\frac{512}{36}-16=\frac{128}{9}-\frac{144}{9}=-\frac{16}{9}$
• 当 $|PC{|}^2=64$ 时， 数量积取得最小值： ${\left(\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}\right)}_{\text{min}}=\frac{512}{64}-16=8-16=-8$

所以， $\overrightarrow{CE}\cdot \overrightarrow{CF}$ 的最大值为 $-\frac{16}{9}$， 最小值为 $-8$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的性质与对称性、三角形外接圆方程、动态圆系与向量数量积、向量数量积的几何投影性质。
2. 核心方法：坐标代换与方程联立法、极值转化与极角包络法、几何极值分析法。
3. 避坑指南：

• 注意关键条件（如定义域、符号、取值范围）的约束，避免漏解或增解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查抛物线的性质与对称性、三角形外接圆方程，是辽宁卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（坐标代换与方程联立法、极值转化与极角包络法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：抛物线的性质与对称性、三角形外接圆方程相互关联，解答中综合运用了坐标代换与方程联立法、极值转化与极角包络法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2010-湖北卷文-20 解-抛物线直线交点
• 2013-新课标I卷理-22 解-弦切角定理