2010-湖北卷文-20 解-抛物线直线交点

本题导读

考查抛物线定义与数量积。$y^2=4x$（$x>0$）；$\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=m^2-6m+1-s^2$，对任意弦需 $m^2-6m+1<0$，得 $m\in (3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2})$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知一条曲线 $C$ 在 $y$ 轴的右边，$C$ 上每一点到点 $F(1,0)$ 的距离减去它到 $y$ 轴距离的差都是 1.

(1) 求曲线 $C$ 的方程；

(2) 是否存在正数 $m$，对于过点 $M(m,0)$ 且与曲线 $C$ 有两个交点 $A$、$B$ 的任一直线，都有 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}<0$？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. (1) 设 $P(x,y)$，$x>0$。$|PF|-x=1$：$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=x+1$，平方：$(x-1{)}^2+y^2=(x+1{)}^2$，得 $y^2=4x$，取 $x>0$ 部分。
2. (2) 设 $A(u^2,2u)$，$B(v^2,2v)$（$u\ne v$）。直线过 $M(m,0)$ 时由三点共线得 $uv=-m$（竖直弦也成立）。
3. $\overrightarrow{FA}=(u^2-1,2u)$，$\overrightarrow{FB}=(v^2-1,2v)$，数量积 $=u^2{v}^2-u^2-v^2+1+4uv$。
4. 记 $s=u+v$：$u^2{v}^2=m^2$，$u^2+v^2=s^2-2uv=s^2+2m$，故数量积 $=m^2-(s^2+2m)+1-4m=m^2-6m+1-s^2$。
5. $s$ 可取任意实数（竖直弦 $s=0$），要求数量积恒负 $⟺m^2-6m+1<0$，解得 $3-2\sqrt{2}<m<3+2\sqrt{2}$，均为正数。

✅【答案】

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(1) $y^2=4x$（$x>0$）

(2) 存在，$m$ 的取值范围为 $(3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2})$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $C$ 上任一点为 $P(x,y)$. 因为 $P$ 在 $y$ 轴右边，所以 $x>0$，且 $P$ 到 $F(1,0)$ 和 $y$ 轴的距离分别为 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$ 和 $x$. 由题意， $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}-x=1,$ 即 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=x+1$，两边均非负，平方得 $(x-1{)}^2+y^2=(x+1{)}^2,$ 即 $y^2=4x$. 所以曲线 $C$ 的方程为 $y^2=4x$，并取 $x>0$ 的部分. (2) 设直线与抛物线交于参数点 $A=(u^2,2u)$，$B=(v^2,2v)$，其中 $u\ne v$. 当直线过 $M(m,0)$ 时，由弦的方程或直接代入三点共线条件可得 $uv=-m$. 这对竖直弦也成立，因为此时 $u+v=0$，且 $m=u^2=-uv$. 由 $F=(1,0)$，有 $\overrightarrow{FA}=(u^2-1,2u)$，$\overrightarrow{FB}=(v^2-1,2v)$. 记 $s=u+v$，则 $uv=-m$，从而 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=(u^2-1)(v^2-1)+4uv=u^2{v}^2-u^2-v^2+1+4uv=m^2-(s^2+2m)+1-4m=m^2-6m+1-s^2.$ 对过 $M$ 的任意割线，$s$ 可以取任意实数，特别地，竖直直线给出 $s=0$. 因而要使上述内积对任意割线都严格小于 0，必须且只需 $m^2-6m+1<0.$ 解得 $3-2\sqrt{2}<m<3+2\sqrt{2}$. 这个区间中的数均为正，所以满足条件的 $m$ 的取值范围为 $(3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2})$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线直线交点与参数范围

核心方法：由直线与抛物线方程联立，用判别式讨论交点个数定 $m$ 范围

避坑指南：直线 $y=x+m$ 与 $y^2=4x$ 联立得关于 $x$（或 $y$）的二次方程，由判别式 $\Delta >0$ 得 $m\in (3-2\sqrt{2},3+2\sqrt{2})$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆锥曲线的位置关系由联立方程判别式判定。

结论推广：联立消元得二次方程，$\Delta >0$ 相交、$\Delta =0$ 相切、$\Delta <0$ 相离；抛物线开口向右时 $x>0$ 需校验。

方法推广：抛物线标准方程先认准开口与 $p$；消元后注意二次项系数是否可能为零（退化情形）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2009-江苏卷-22 解-抛物线参数法弦长
• 2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积