2007-重庆卷文-04 单-二项展开式指定项系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及指定项系数。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） $(2x-1{)}^6$ 展开式中 $x^2$ 的系数为 ()

A. $15$　　　　　　B. $60$　　　　　　C. $120$　　　　　　D. $240$

🔍【思路分析】

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1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2x{)}^{6-k}(-1{)}^k$。
2. $x^2$ 项：$6-k=2$，即 $k=4$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_6^4\cdot 2^2\cdot (-1{)}^4=15\times 4\times 1=60$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$(2x-1{)}^6$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2x{)}^{6-k}(-1{)}^k$． 要得到 $x^2$ 项，需 $6-k=2$，即 $k=4$． 该项系数为 ${\mathrm{C}}_6^4\cdot 2^2\cdot (-1{)}^4=15\times 4\times 1=60$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式指定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k(2x{)}^{6-k}(-1{)}^k$，$x^2$ 项需 $6-k=2$，$k=4$

避坑指南：$x$ 的次数来自 $(2x{)}^{6-k}$，系数别丢 $2^2$ 与 $(-1{)}^4$；${\mathrm{C}}_6^4={\mathrm{C}}_6^2=15$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式指定项系数是重庆卷高频小题，2012 文第 4 题、2011 文第 11 题、2009 文第 3 题同型

结论推广：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；指定次数先解 $k$，再算系数

方法推广：系数问题统一用通项公式，注意 $a$、$b$ 的指数与二项式系数、项的系数三个概念的区别

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2012-重庆卷文-04 单-二项展开式的系数
• 2011-重庆卷文-11 填-二项式特定项
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