2011-重庆卷文-11 填-二项式特定项

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项系数。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） $(1+2x{)}^6$ 的展开式中 $x^4$ 的系数是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：通项 $T_{k+1}=C_6^k(2x{)}^k$
2. 步骤2：取 $k=4$ 得 $C_6^4\cdot 2^4=240$

✅【答案】

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$240$

✍【详细解析】

Abstract

二项式通项 $T_{k+1}=C_6^k(2x{)}^k=C_6^k{2}^k{x}^k$。 令 $k=4$，得 $x^4$ 的系数为 $C_6^4\cdot 2^4=15\times 16=240$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理通项公式与特定项系数。

核心方法：写通项 → 令幂指数等于目标次数 → 代入组合数与系数。

避坑指南：$2^4$ 是来自 $(2x{)}^4$ 的系数，漏乘 $2^4$ 只写 $C_6^4=15$ 是本类题最常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项系数为填空题常客，2011 湖北文 12、2012 四川文 02 与本题同型。

结论推广：若求 $x^m$ 系数，通法为 $k=m$；常数项则令 $k=0$。系数之和类问题用赋值法另算。

方法推广：二项式小题口诀：「通项写出、指数对号、系数连乘」，三项信息 $C_n^k$、$a^k$、$b^{n-k}$ 一个都不能丢。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-12 填-二项式特定项
• 2012-四川卷文-02 单-二项式特定项系数
• 2012-大纲卷文-13 填-二项式特定项