2007-重庆卷文-07 单-至少问题对立事件概率

本题导读

本题考查古典概型，以及对立事件。

📌【题干】

Question

（2007年重庆卷(文)） 从 5 张 100 元，3 张 200 元，2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张，则所取 3 张中至少有 2 张价格相同的概率为 ()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　B. $\frac{79}{120}$　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　D. $\frac{23}{24}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总数：${\mathrm{C}}_{10}^3=120$。
2. 对立事件：三张价格互不相同，即三张中 100 元、200 元、300 元各取一张，$5\times 3\times 2=30$ 种。
3. 所求 $p=1-\frac{30}{120}=\frac{3}{4}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

从 10 张门票中任取 3 张，共有 ${\mathrm{C}}_{10}^3=120$ 种取法． 三张价格互不相同的取法为 $5\times 3\times 2=30$ 种（三种面额各取一张）． 至少有 2 张价格相同，其对立方为三张价格互不相同，故所求概率为 $p=1-\frac{30}{120}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：至少问题对立事件概率

核心方法：$p=1-\frac{5\times 3\times 2}{{\mathrm{C}}_{10}^3}=1-\frac{30}{120}=\frac{3}{4}$

避坑指南：至少型问题用对立事件：三张全不同价即三种面额各取一张，总数 ${\mathrm{C}}_{10}^3$ 别误用 ${\mathrm{C}}_{10}^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：取牌至少型概率，与 2013 重庆文第 13 题、2012 重庆文第 15 题的古典概型一脉相承

结论推广：至少 $n$ 个满足条件用对立事件；分类标准是价格而非张数

方法推广：总数 ${\mathrm{C}}_{10}^3$ 与有利数分层计数（每层取几张）要一一对应，别把分层取数与组合数混算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2013-重庆卷文-13 填-古典概型相邻
• 2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型
• 2013-重庆卷理-18 解-古典概型