2012-重庆卷文-15 填-排列与古典概型

本题导读

本题考查排列与组合的应用，以及古典概型。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(文)） 某艺校在一天的 $6$ 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 $1$ 节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 $1$ 节艺术课的概率为$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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总排法 $6!=720$；三门文化课互不相邻的排法为 $3!\times {\mathrm{C}}_4^3\times 3!=144$，故 $P=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

六节课任意排列共 $6!=720$ 种，每种等可能。

“相邻两节文化课之间至少间隔 $1$ 节艺术课”即三门文化课两两不相邻。

先排三门艺术课，有 $3!$ 种；艺术课排好后形成 $4$ 个空位（含两端），从中选 $3$ 个插入文化课，有 ${\mathrm{C}}_4^3$ 种选法，三门文化课内部再排 $3!$ 种。

符合条件的排法数为 $3!\times {\mathrm{C}}_4^3\times 3!=6\times 4\times 6=144$。

故所求概率 $P=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：插空法处理”不相邻”问题；古典概型 $P=\frac{m}{n}$

核心方法：“互不相邻”用插空：先排无限制的元素，再往空位里插；总排法用全排列

避坑指南：空位数是”元素数 $+1$“（含首尾两端），本题是 $4$ 个空位不是 $3$ 个；选空位用组合 ${\mathrm{C}}_4^3$，别用排列 ${\mathrm{A}}_4^3$（文化课内部顺序已由 $3!$ 承担）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列组合与古典概型结合题，与 2012 年上海卷文第 11 题、2014 年北京卷理第 13 题同族。

结论推广：$n$ 个元素中有 $k$ 个互不相邻：先排其余 $n-k$ 个（$(n-k)!$），再从 $n-k+1$ 个空位中选 $k$ 个插入（${\mathrm{C}}_{n-k+1}^k$），内部排序 $k!$。

方法推广：概率题先明确”样本空间是什么、是否等可能”，再用计数模型（插空、捆绑、隔板）数出分子。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-11 填-古典概型
• 2014-北京卷理-13 填-相邻与不相邻问题
• 2013-新课标I卷文-03 单-古典概型