2007-陕西卷文-10 单-点线面距离大小比较

本题导读

本题考查点到平面的距离，以及点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 已知 $P$ 为平面 $\alpha$ 外一点，直线 $l\subset \alpha$，点 $Q\in l$，记点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离为 $a$，点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $b$，点 $P$、$Q$ 之间的距离为 $c$，则 ()

A. $a\le b\le c$　　　　　B. $c\le a\le b$　　　　　C. $a\le c\le b$　　　　　D. $b\le c\le a$

🔍【思路分析】

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1. 设 $H$ 为 $P$ 在 $\alpha$ 上的垂足，$PH=a$。
2. 因 $l\subset \alpha$，对 $l$ 上任意点 $X$ 有 $PX\ge PH$，故点 $P$ 到 $l$ 的距离 $b\ge a$。
3. $Q\in l$，$c=PQ$ 是 $P$ 到 $l$ 上某点的距离，不小于 $P$ 到 $l$ 的最短距离 $b$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设 $H$ 为点 $P$ 在平面 $\alpha$ 上的垂足，则 $PH=a$． 因为直线 $l\subset \alpha$，对 $l$ 上任意一点 $X$，$PH$ 是 $P$ 到 $\alpha$ 的最短距离，故 $PX\ge PH=a$，从而点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $b\ge a$． 又 $Q\in l$，$c=PQ$ 是点 $P$ 到直线 $l$ 上一点的距离，它不小于 $P$ 到 $l$ 的最短距离，即 $c\ge b$． 故 $a\le b\le c$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点线面距离大小比较

核心方法：垂足 $H$ 使 $PH=a$ 最小；$l\subset \alpha$ 上任一点 $X$ 有 $PX\ge PH$，故 $b\ge a$；$Q\in l$ 故 $c=PQ\ge b$

避坑指南：点面距离是点到面内所有点距离的最小值，$a\le b$；点线距离也是最小值，$b\le c$；链式 $a\le b\le c$ 顺序别排反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于空间距离的比较，教材”直线与平面垂直”中点面距、点线距的定义

结论推广：一般化：点面距 $\le$ 点线距 $\le$ 点与线上某点的距离，垂线段最短

方法推广：三类距离比较抓住”垂线段最短”：面距是到面最短、线距是到线最短、两点距是具体值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2010-陕西卷文-18 解-四棱锥垂直夹角
• 2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角
• 2013-陕西卷理-18 解-线面垂直