2013-陕西卷理-18 解-线面垂直

本题导读

本题考查直线与平面的位置关系。核心在于空间向量法、线面垂直判定定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 如图，四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，$O$ 为底面中心，$A_{1}O\perp$ 平面 $ABCD$，$AB=A{A}_1=\sqrt{2}$.

（I）证明：$A_{1}C\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$；

（II）求平面 $OC{B}_1$ 与平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的夹角 $\theta$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 建立坐标系：
   • 因为底面是正方形，$O$ 为中心，$OA,OB$ 垂直。
   • 又 $A_{1}O\perp$ 平面 $ABCD$，故 $OA,OB,O{A}_1$ 两两垂直。
   • 以 $O$ 为原点，$OA,OB,O{A}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
2. 确定点坐标：
   • 计算各线段长度：在 $Rt△A_{1}OA$ 中，$A{A}_1=\sqrt{2}$，$OA=1$（正方形对角线一半），勾股定理求得 $A_{1}O=1$。
   • 根据坐标轴方向写出各关键点的坐标。
3. 第一问证明：
   • 计算向量 $\overrightarrow{A_{1}C}$。
   • 寻找平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的两个不共线向量（如 $\overrightarrow{DB}$ 和 $\overrightarrow{B{B}_1}$）。
   • 通过点积为 $0$ 证明垂直关系。
4. 第二问求夹角：
   • 分别求出两个平面的法向量 $\vec{n}$ 和 $\vec{m}$。
   • 利用向量夹角余弦公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}$ 计算。

✅【答案】

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（II）解：求平面夹角

✍【详细解析】

Abstract

第一步：坐标系初始化 以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{A}_1}$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系。 因为正方形 $ABCD$ 边长为 $\sqrt{2}$，所以 $OA=OB=OC=OD=1$。 在 $Rt△A_{1}OA$ 中，$OA=1,A{A}_1=\sqrt{2}$，得 $A_{1}O=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}=1$。 相关点坐标如下： $O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A_1(0,0,1)$。 通过平移 $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}=\overrightarrow{D{D}_1}=(-1,0,1)$， 得 $B_1(-1,1,1),D_1(-1,-1,1)$。

（I）证明： 计算向量： $\overrightarrow{A_{1}C}=(-1,0,-1)$ $\overrightarrow{DB}=(0,2,0)$ $\overrightarrow{B{B}_1}=(-1,0,1)$

计算点积： $\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{DB}=-1\times 0+0\times 2+(-1)\times 0=0⟹\overrightarrow{A_{1}C}\perp \overrightarrow{DB}$ $\overrightarrow{A_{1}C}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=-1\times (-1)+0\times 0+(-1)\times 1=0⟹\overrightarrow{A_{1}C}\perp \overrightarrow{B{B}_1}$ 因为 $DB\cap B{B}_1=B$，且 $DB,B{B}_1$ 都在平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 内， 所以 $A_{1}C\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$。

（II）解：求平面夹角

1. 由（I）知，$A_{1}C\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$，故平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的一个法向量为 $\vec{m}=\overrightarrow{A_{1}C}=(-1,0,-1)$。
2. 设平面 $OC{B}_1$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{OC}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{O{B}_1}=(-1,1,1)$。 由 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{OC}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{O{B}_1}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-x=0\\ -x+y+z=0\end{array}$ 解得 $x=0,y=-z$。令 $z=-1$，则 $y=1$。 得 $\vec{n}=(0,1,-1)$。
3. 计算夹角余弦值： $\cos \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{|0\times (-1)+1\times 0+(-1)\times (-1)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。 因为二面角的范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]$， 所以 $\theta =60^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的坐标化证明；二面角的法向量求解公式。

核心方法：“建系-坐标-向量-运算”。在涉及垂直背景（如正方形中心、垂直于底面的高）时，建系法往往比纯几何法更程序化、更可得分。

避坑指南：求法向量时方程组的建立不能出错；计算最后夹角时注意余弦值的正负（法向量夹角可能是钝角，但平面夹角通常指锐角或直角）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到平面的距离（向量射影法）、线面角。

结论推广：若一直线垂直于一平面，则该直线的方向向量即为平面的法向量。

方法推广：对于不规则四棱柱，若找不到垂直关系，可以通过底面向量的正交化过程建立斜坐标系或通过几何特征寻找隐藏的垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直