2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角

本题导读

考查直三棱柱中的垂直与二面角。（1）$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ 得 $AB\perp AC$，又 $AB\perp A{A}_1$，故 $AB\perp$ 平面 $A_{1}AC$，$AB\perp A_{1}C$；（2）法向量 $(1,0,0)$ 与 $(-3,-\sqrt{3},-\sqrt{3})$，二面角为 $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=1$，$AC=A{A}_1=\sqrt{3}$，$\angle ABC=60^{\circ }$.

(1)证明：$AB\perp A_{1}C$；

(2)求二面角 $A-A_{1}C-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. 余弦定理：$3=1+B{C}^2-BC$，$BC=2$。
2. $A{B}^2+A{C}^2=1+3=4=B{C}^2$，故 $AB\perp AC$。
3. 直三棱柱 $A{A}_1\perp$ 底面，$AB\perp A{A}_1$；于是 $AB\perp$ 平面 $A_{1}AC$，$AB\perp A_{1}C$。 4.（2）建系 $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,\sqrt{3},0),A_1(0,0,\sqrt{3})$。
4. 平面 $A_{1}AC$ 法向量 $(1,0,0)$；平面 $A_{1}BC$ 法向量 $\overrightarrow{A_{1}C}\times \overrightarrow{A_{1}B}=(-3,-\sqrt{3},-\sqrt{3})$。
5. $\cos \theta =\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2)二面角 $A-A_{1}C-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）在 $△ABC$ 中，由余弦定理得 $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cos \angle ABC,\text{即 }3=1+B{C}^2-BC,$ 所以 $B{C}^2-BC-2=0$。因为 $BC>0$，故 $BC=2$。 于是 $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=1+3$，从而 $AB\perp AC$。 又因为三棱柱是直三棱柱，$A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，所以 $AB\perp A{A}_1$。 直线 $AC$、$A{A}_1$ 是平面 $A_{1}AC$ 内相交的两条直线，且都垂直于 $AB$， 因此 $AB\perp$ 平面 $A_{1}AC$，从而 $AB\perp A_{1}C$。 （2）由（1）可建立直角坐标系，取 $A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,\sqrt{3},0),A_1(0,0,\sqrt{3}).$ 设二面角 $A-A_{1}C-B$ 的平面角为 $\theta$。 平面 $A_{1}AC$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(1,0,0)$； 而 $\overrightarrow{A_{1}C}=(0,\sqrt{3},-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-\sqrt{3})$， 故平面 $A_{1}BC$ 的一个法向量可取 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{A_{1}C}\times \overrightarrow{A_{1}B}=(-3,-\sqrt{3},-\sqrt{3}).$ 因此 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5},$ 所以二面角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与二面角的求法

核心方法：勾股逆定理证垂直，再建空间直角坐标系用双法向量求二面角

避坑指南：二面角 $A-A_{1}C-B$ 的棱是 $A_{1}C$，两半平面为 $A_{1}AC$ 与 $A_{1}BC$；$BC=2$ 须由余弦定理先求出，勾股关系是隐藏条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱的侧棱垂直于底面，是图形中一切垂直关系的源头。

结论推广：垂直链：线线垂直 $\Leftarrow$ 线面垂直 $\Leftarrow$ 垂直于平面内两条相交直线。

方法推广：数量条件（一角两边）先用余弦定理求第三边，发现勾股关系是立体几何题的常见伏笔。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-19 解-面面垂直二面角
• 2009-重庆卷文-18 解-五面体距离二面角
• 2009-大纲卷II文-19 解-直三棱柱线面角
• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角