2007-陕西卷文-14 填-线性规划目标最值

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 已知实数 $x,y$ 满足条件 $\{\begin{array}{l}x-2y+4\ge 0,\\ 3x-y-3\le 0,\\ x\ge 0,y\ge 0,\end{array}$ 则 $z=x+2y$ 的最大值为　　　　

🔍【思路分析】

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1. 画可行域（由三条边界围成的多边形）。
2. 求各顶点：$(0,0),(0,2),(1,0),(2,3)$。
3. 线性目标函数在顶点取最值，比较 $z=x+2y$ 得最大 $8$。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件得 $x\ge 0,y\ge 0$，$y\le \frac{x}{2}+2$，$y\ge 3x-3$．可行域为四边形． 各顶点：$(0,0)$，$(0,2)$（$x=0$ 与 $y=\frac{x}{2}+2$ 交点），$(1,0)$（$y=0$ 与 $y=3x-3$ 交点），以及由 $\frac{x}{2}+2=3x-3$ 解得 $x=2,y=3$ 的 $(2,3)$． 比较目标函数值：$z(0,0)=0$，$z(0,2)=4$，$z(1,0)=1$，$z(2,3)=2+6=8$，故最大值为 $8$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划目标最值

核心方法：画可行域求顶点 $(0,0),(0,2),(1,0),(2,3)$，$z=x+2y$ 在顶点取最大 $8$

避坑指南：线性目标函数最值在顶点取，逐点代入比较最稳；交点 $(2,3)$ 由 $\frac{x}{2}+2=3x-3$ 解出，别把边界直线画错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于线性规划，教材”简单的线性规划问题”中目标函数最值

结论推广：一般化：线性目标函数在有界可行域的顶点处取得最值，逐点代入比较即可

方法推广：先画可行域（画边界直线、定区域），再求顶点，最后代入目标函数比较

🔗【关联脉络】

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