2010-陕西卷文-14 填-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。可行域三个顶点中，$z=3x-y$ 在 $(2,1)$ 处取最大值 $5$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y⩽4,\\ x-y⩽1,\\ x+2⩾0,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x-y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画三条边界直线围成的可行域，确定三个顶点。
2. 直线 $x+2y=4$ 与 $x-y=1$ 交于 $(2,1)$；$x=-2$ 与两直线分别交于 $(-2,3)$、$(-2,-3)$。
3. 直线族 $3x-y=z$ 中 $z$ 越大直线越靠右上，比较各顶点处 $z$ 值。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

可行域是由 $x+2y⩽4$，$x-y⩽1$，$x⩾-2$ 围成的三角形，三个顶点为 $(-2,3),(-2,-3),(2,1).$ 逐点计算 $z=3x-y$： $(-2,3)$：$z=-6-3=-9$；$(-2,-3)$：$z=-6+3=-3$；$(2,1)$：$z=6-1=5$. 所以 $z_{\max }=5$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：顶点 $(-2,3),(-2,-3),(2,1)$ 中 $z=3x-y$ 在 $(2,1)$ 取最大值 $5$

避坑指南：可行域顶点要算全：$x⩾-2$ 是竖直边界，容易漏掉 $(-2,\pm 3)$ 两点；目标函数 $z=3x-y$ 的 $y$ 系数为负，$z$ 增大方向是右下而非右上。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值几乎每年出现，2009 陕西文第 14 题、2011 新课标Ⅰ文第 14 题同型。

结论推广：平移直线族 $3x-y=z$：$z$ 越大截距 $-z$ 越低；最优解在可行域顶点处取得。

方法推广：画准可行域并标出全部顶点，逐一代入目标函数；$y$ 系数为负时直线族随 $z$ 增大向右下平移，靠”代入”不靠”目测”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-14 填-线性规划最值
• 2011-新课标卷文-14 填-线性规划
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划