2009-陕西卷文-14 填-线性规划最值

本题导读

考查线性规划。可行域顶点 $(0,1)$、$(1,0)$、$(3,4)$，$z=x+2y$ 分别取 $2$、$1$、$11$，最小值 $1$，最大值 $11$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩾1,\\ x-y⩾-1,\\ 2x-y⩽2,\end{array}$ 目标函数 $z=x+2y$ 的最小值是 $\underline{}$，最大值是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 三条边界两两联立：$x+y=1$ 与 $x-y=-1$ 得 $(0,1)$。
2. $x+y=1$ 与 $2x-y=2$ 得 $(1,0)$。
3. $x-y=-1$ 与 $2x-y=2$ 得 $(3,4)$。
4. $z$ 值依次为 $2$、$1$、$11$，最小 $1$，最大 $11$。

✅【答案】

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最小值 $1$，最大值 $11$

✍【详细解析】

Abstract

可行域是由三条直线围成的三角形区域，三个顶点为： $x+y=1$ 与 $x-y=-1$ 的交点 $(0,1)$； $x+y=1$ 与 $2x-y=2$ 的交点 $(1,0)$； $x-y=-1$ 与 $2x-y=2$ 的交点 $(3,4)$。 目标函数 $z=x+2y$ 在三顶点处的值分别为 $2$、$1$、$11$， 故 $z$ 的最小值为 $1$，最大值为 $11$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性目标函数在三角形可行域上的最值

核心方法：求出三个顶点坐标，代入目标函数比较

避坑指南：三个不等号方向要画准；可行域是封闭三角形时最值必在顶点取得，三顶点两两联立求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性函数在凸多边形可行域上的最值必在顶点处取得。

结论推广：若可行域不封闭，需额外判断最值是否存在，不能机械套顶点法。

方法推广：两两联立求交点、逐点代入比较，是线性规划填空题的标准流程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-10 单-线性规划利润
• 2009-北京卷文-11 填-线性规划最值
• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划