2007-陕西卷文-20 解-等比数列通项与求和

本题导读

本题考查等比数列的通项公式。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 已知实数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，其中 $a_7=1$，且 $a_4,a_5+1,a_6$ 成等差数列． （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； （2）数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$，证明：$S_n<128$（$n=1,2,3,\cdots$）．

🔍【思路分析】

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1. 设公比为 $q$，由 $a_7=1$ 得 $a_4=q^{-3},a_5=q^{-2},a_6=q^{-1}$。
2. $a_4,a_5+1,a_6$ 成等差：$2(q^{-2}+1)=q^{-3}+q^{-1}$，化简求 $q$。
3. 由 $a_7=a_1{q}^6=1$ 求 $a_1$，得通项；再求 $S_n$ 并放缩。

✅【答案】

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（1）$a_n=2^{7-n}$；（2）证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$．由 $a_7=1\ne 0$ 知 $q\ne 0$，且 $a_4=q^{-3},a_5=q^{-2},a_6=q^{-1}$． 由 $a_4,a_5+1,a_6$ 成等差数列，得 $2(q^{-2}+1)=q^{-3}+q^{-1}$，两边同乘 $q^3$ 得 $2q^3-q^2+2q-1=0$，即 $(2q-1)(q^2+1)=0$．因 $q$ 为实数，故 $q=\frac{1}{2}$． 再由 $a_7=a_1{q}^6=1$，得 $a_1=64$，故通项公式为 $a_n=64{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=2^{7-n}$． （2）由等比数列前 $n$ 项和公式， $S_n=\frac{64\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right]}{1-\frac{1}{2}}=128\left(1-2^{-n}\right)=128-2^{7-n}$． 当 $n=1,2,3,\cdots$ 时，$2^{7-n}>0$，故 $S_n<128$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列通项与求和

核心方法：设公比 $q$，$a_4=q^{-3},a_5=q^{-2},a_6=q^{-1}$；等差中项 $2(q^{-2}+1)=q^{-3}+q^{-1}$ 解得 $q=\frac{1}{2}$；$a_n=2^{7-n}$

避坑指南：方程化简得 $(2q-1)(q^2+1)=0$，$q^2+1=0$ 无实根只留 $q=\frac{1}{2}$；$S_n=128-2^{7-n}$，$2^{7-n}>0$ 故 $S_n<128$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列的通项、等差中项与求和，教材”等比数列”综合题

结论推广：一般化：等比数列中 $a_m,a_{m+1}+1,a_{m+2}$ 成等差可用等差中项列方程求公比

方法推广：等差中项列方程求公比是常用技巧；$S_n<128$ 由 $S_n=128-2^{7-n}$ 直接看单调性

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• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-20 解-递推构造与错位相减
• 2009-陕西卷文-21 解-构造等比求通项
• 2012-陕西卷文-16 解-等比数列求和与等差证明