2012-陕西卷文-16 解-等比数列求和与等差证明

本题导读

本题考查等比数列的通项与前项和。核心在于公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q=-\frac{1}{2}$.

(1)若 $a_3=\frac{1}{4}$，求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和；

(2)证明：对任意 $k\in {\mathbf{N}}_{+}$，$a_k$，$a_{k+2}$，$a_{k+1}$ 成等差数列.

🔍【思路分析】

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（1）$a_1=1$，$S_n=\frac{2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{3}$；（2）$2a_{k+2}=\frac{1}{2}{a}_k=a_k+a_{k+1}$，故成等差数列。

✅【答案】

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(1)$S_n=\frac{2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{3}$；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由等比数列通项公式 $a_3=a_1{q}^2$，代入 $a_3=\frac{1}{4}$，$q=-\frac{1}{2}$：

$a_1\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，故 $a_1=1$。

因为 $q\ne 1$，由求和公式：

$S_n=\frac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]=\frac{2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{3}$。

（2）由通项公式 $a_{k+1}=a_{k}q=-\frac{1}{2}{a}_k$，$a_{k+2}=a_k{q}^2=\frac{1}{4}{a}_k$。

于是 $2a_{k+2}=\frac{1}{2}{a}_k$，而 $a_k+a_{k+1}=a_k-\frac{1}{2}{a}_k=\frac{1}{2}{a}_k$。

所以 $2a_{k+2}=a_k+a_{k+1}$，即 $a_k$，$a_{k+2}$，$a_{k+1}$ 成等差数列。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的基本量运算；等比数列前 $n$ 项和公式；等差数列的定义（等差中项）

核心方法：（1）“知三求一”定 $a_1$ 再代求和公式；（2）把三项都用 $a_k$ 表示，验证中间项的两倍等于首末两项之和

避坑指南：（1）求和公式分母是 $1-q=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，别把负号带错；化简 $\frac{2}{3}\left[1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n\right]$ 到 $\frac{2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{3}$ 时用 $-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。（2）注意要证的顺序是 $a_k$，$a_{k+2}$，$a_{k+1}$（中间项是 $a_{k+2}$），等差中项应满足 $2a_{k+2}=a_k+a_{k+1}$，顺序写反会导致验证目标弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量与等差证明题，与 2013 年四川卷文第 16 题、2013 年北京卷文第 11 题同族。

结论推广：公比为 $q$ 的等比数列中，隔项 $a_k$，$a_{k+2}$，$a_{k+1}$ 成等差 $⟺2q^2=1+q⟺(2q-1)(q+1)=0$，即 $q=\frac{1}{2}$ 或 $q=-1$；本题 $q=-\frac{1}{2}$ 时是”隔项”版本的等差（首末位置互换）。

方法推广：数列证明题的两个基本功：一切用 $a_1$、$q$（或 $a_k$）表示；验证等差用”中项两倍 = 两邻项和”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-16 解-等比数列基本量
• 2012-重庆卷文-11 填-等比数列前n项和
• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和