2009-陕西卷文-21 解-构造等比求通项

本题导读

考查递推数列。（1）$b_{n+1}=\frac{a_n-a_{n+1}}{2}=-\frac{1}{2}{b}_n$，$b_1=1$，$\{b_n\}$ 等比；（2）$a_n=1+\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)令 $b_n=a_{n+1}-a_n$，证明：$\{b_n\}$ 是等比数列；

(2)求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}-a_{n+1}=\frac{a_n-a_{n+1}}{2}=-\frac{1}{2}{b}_n$。 2. $b_1=a_2-a_1=1$，故 $\{b_n\}$ 是首项 $1$、公比 $-\frac{1}{2}$ 的等比数列。 3.（2）$a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k=1+\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{1+\frac{1}{2}}$。 4. 化简：$a_n=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 证明见解析；(2)$a_n=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由递推关系， $b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}-a_{n+1}=\frac{a_n-a_{n+1}}{2}=-\frac{1}{2}{b}_n.$ 又 $b_1=a_2-a_1=1$， 所以 $\{b_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $-\frac{1}{2}$ 的等比数列，即 $b_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$。 （2）由 $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$，得 $a_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{k-1}=1+\frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1},$ 其中 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：构造差分数列证明等比并累加求通项

核心方法：由递推直出 $b_{n+1}=-\frac{1}{2}{b}_n$，再 $a_n=a_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{b}_k$

避坑指南：公比是负数 $-\frac{1}{2}$，等比求和分母 $1-q=\frac{3}{2}$ 别算错；累加时项数是 $n-1$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二阶线性递推 $a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 的降阶处理：差分构造等比。

结论推广：差分数列等比，则原数列为”等比累加”型，通项含等比求和。

方法推广：$a_n=a_1+(a_2-a_1)+\cdots +(a_n-a_{n-1})$ 是累加法的标志结构。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项