2007-陕西卷文-21 解-三次函数单调恒成立

本题导读

本题考查利用导数研究单调性。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(文)） 已知 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ 在区间 $[0,1]$ 上是增函数，在区间 $(-\infty ,0)$，$(1,+\infty )$ 上是减函数．又 $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$． （1）求 $f(x)$ 的解析式； （2）若在区间 $[0,m]$（$m>0$）上恒有 $f(x)\le x$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. 函数在 $0$ 左侧减、右侧增，故 $f^{\prime }(0)=0$；在 $1$ 左侧增、右侧减，故 $f^{\prime }(1)=0$。
2. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，且 $f^{\prime }(x)=kx(x-1)$。
3. 由 $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$ 定 $k$，比较系数得 $a,b,c$。 4.（2）解 $x-f(x)=x(2x-1)(x-1)\ge 0$。

✅【答案】

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（1）$f(x)=-2x^3+3x^2$；（2）$0<m\le \frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）函数在 $0$ 的左侧递减、右侧递增，且 $f^{\prime }$ 连续，故 $f^{\prime }(0)=0$；同理，在 $1$ 的左侧递增、右侧递减，故 $f^{\prime }(1)=0$． 又 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，故可设 $f^{\prime }(x)=kx(x-1)$． 由 $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$，得 $k\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{k}{4}=\frac{3}{2}$，故 $k=-6$． 比较系数得 $3a=-6,2b=6,c=0$，即 $a=-2,b=3,c=0$，故 $f(x)=-2x^3+3x^2$． （2）由（1），$x-f(x)=x+2x^3-3x^2=x(2x-1)(x-1)$． 当 $0\le x\le \frac{1}{2}$ 时，$x\ge 0,2x-1\le 0,x-1\le 0$，故 $x-f(x)\ge 0$，即 $f(x)\le x$； 当 $\frac{1}{2}<x<1$ 时，$x-f(x)<0$，即 $f(x)>x$． 故要使 $[0,m]$ 上恒有 $f(x)\le x$，必须且只需 $0<m\le \frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数单调恒成立

核心方法：增减速转折点 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)=0$，设 $f^{\prime }(x)=kx(x-1)$；由 $f^{\prime }(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$ 定 $k=-6$，得 $f(x)=-2x^3+3x^2$

避坑指南：$f^{\prime }(\frac{1}{2})=k\cdot \frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{k}{4}=\frac{3}{2}$，$k=-6$；（2）解 $x-f(x)=x(2x-1)(x-1)\ge 0$，临界 $\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数研究三次函数单调性，教材”导数在研究函数中的应用”典型题

结论推广：一般化：三次函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx$ 在 $0,1$ 处增减性转折则 $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)=0$，可设 $f^{\prime }(x)=kx(x-1)$

方法推广：由增减性转折定导函数零点，再设乘积形式反求原函数；恒成立转化为解因式不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练(Links)

• 2008-陕西卷文-22 解-三次函数单调与公共点
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2012-陕西卷文-21 解-导数零点与最值范围