2012-陕西卷文-21 解-导数零点与最值范围

本题导读

本题考查零点存在性定理与单调性。核心在于换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 设函数 $f_n(x)=x^n+bx+c$（$n\in {\mathbf{N}}_{+}$，$b$，$c\in \mathbf{R}$）.

(1)设 $n⩾2$，$b=1$，$c=-1$，证明：$f_n(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内存在唯一零点；

(2)设 $n$ 为偶数，$|f_n(-1)|⩽1$，$|f_n(1)|⩽1$，求 $b+3c$ 的最小值和最大值；

(3)设 $n=2$，若对任意 $x_1$，$x_2\in [-1,1]$，有 $|f_2(x_1)-f_2(x_2)|⩽4$，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$f_n\left(\frac{1}{2}\right)<0<f_n(1)$ 且 $f_n^{\prime }(x)>0$，零点唯一；（2）$b+3c=u+2v$，$u,v\in [-2,0]$，最小 $-6$、最大 $0$；（3）$g(x)=x^2+bx$ 在 $[-1,1]$ 上值域宽度不超过 $4$，得 $b\in [-2,2]$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)最小值为 $-6$，最大值为 $0$；(3)$b$ 的取值范围为 $[-2,2]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $b=1$，$c=-1$ 时 $f_n(x)=x^n+x-1$。

当 $n⩾2$ 时，$f_n\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2}⩽\frac{1}{4}-\frac{1}{2}<0$，而 $f_n(1)=1>0$。

$f_n(x)$ 在 $\left[\frac{1}{2},1\right]$ 上连续，由零点存在性定理，$f_n(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内至少存在一个零点。

又 $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+1>0$ 在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内恒成立，$f_n(x)$ 在该区间上单调递增，零点至多一个。

所以 $f_n(x)$ 在 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 内存在唯一零点。

（2）$n$ 为偶数时，$f_n(-1)=1-b+c$，$f_n(1)=1+b+c$。

令 $u=c-b$，$v=b+c$，则条件等价于 $-1⩽1+u⩽1$ 与 $-1⩽1+v⩽1$，即 $-2⩽u⩽0$，$-2⩽v⩽0$。

由 $b=\frac{v-u}{2}$，$c=\frac{u+v}{2}$，得

$b+3c=\frac{v-u}{2}+\frac{3(u+v)}{2}=u+2v$。

由 $-2⩽u⩽0$，$-2⩽v⩽0$ 得 $-6⩽u+2v⩽0$。

当 $u=v=-2$ 时（$b=0$，$c=-2$），$f_n(\pm 1)=-1$，条件满足，$b+3c=-6$；

当 $u=v=0$ 时（$b=0$，$c=0$），$b+3c=0$。

所以 $b+3c$ 的最小值为 $-6$，最大值为 $0$。

（3）$n=2$ 时 $f_2(x)=x^2+bx+c$。令 $g(x)=x^2+bx$，则 $f_2(x_1)-f_2(x_2)=g(x_1)-g(x_2)$，常数 $c$ 不影响函数值的最大差，故条件等价于 $g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的值域宽度不超过 $4$。

由 $g_{-b}(x)=x^2-bx=g_b(-x)$ 且 $[-1,1]$ 关于原点对称，$b$ 与 $-b$ 时值域宽度相同，只需讨论 $b⩾0$。

① 当 $0⩽b⩽2$ 时，$g^{\prime }(x)=2x+b$ 的零点 $x_0=-\frac{b}{2}\in [-1,0]$，最小值为 $g\left(-\frac{b}{2}\right)=-\frac{b^2}{4}$；又 $g(1)=1+b⩾1-b=g(-1)$，最大值为 $1+b$。

值域宽度为 $1+b+\frac{b^2}{4}⩽4$，即 $b^2+4b-12⩽0$，$(b-2)(b+6)⩽0$，在 $0⩽b⩽2$ 内恒成立。

② 当 $b>2$ 时，对任意 $x\in [-1,1]$，$g^{\prime }(x)=2x+b⩾b-2>0$，$g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上递增，值域宽度为 $g(1)-g(-1)=2b>4$，不合题意。

故 $b⩾0$ 时必须且只需 $0⩽b⩽2$。由对称性，$b$ 的取值范围为 $[-2,2]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：零点存在性定理；导数与单调性；一次不等式组的线性变换；二次函数在闭区间上的最值讨论

核心方法：（1）“端点异号 + 单调”两条合起来证唯一零点；（2）换元把 $b+3c$ 化为线性目标；（3）把 $|f(x_1)-f(x_2)|⩽4$ 翻译成”值域宽度 $⩽4$“再按对称轴位置分域讨论

避坑指南：（2）中 $u$、$v$ 不是独立取到任意的组合后还能保证 $b$、$c$ 为实数——它们本来就是由 $b$、$c$ 线性表出的，可逆，所以 $[-2,0]\times [-2,0]$ 内任何 $(u,v)$ 都能实现，最值可以直接取角点；（3）中”$b$ 与 $-b$ 值域宽度相同”（利用区间对称与 $g_{-b}(x)=g_b(-x)$）可省掉一半讨论，但结论要补回负半段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与零点、参数范围综合压轴题，与 2012 年福建卷文第 22 题、2012 年天津卷文第 20 题同族。

结论推广：对二次函数 $g(x)=x^2+bx$，其在对称区间上的值域宽度只依赖 $|b|$：$|b|⩽2$ 时宽度为 $1+|b|+\frac{b^2}{4}$，$|b|>2$ 时宽度为 $2|b|$；令宽度 $⩽4$ 即得 $|b|⩽2$。

方法推广：压轴题三问各有”钩子”：存在唯一零点 = 存在性（端点异号）+ 唯一性（单调）；参数最值 = 换元线性化；任意差值有界 = 值域宽度有界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-22 解-函数解析式与零点个数
• 2013-重庆卷理-06 单-零点存在性定理
• 2012-天津卷文-20 解-三次函数零点与区间最值