2007-陕西卷理-12 单-同余运算群论初步

本题导读

本题是一道全新定义的代数运算题，其数学背景为模 4 剩余系下的加法群结构。要求学生能够准确突破新定义的符号语言阻碍，将抽象代数规则转化为具体的初等余数方程求解，侧重考查逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 设集合 $S=\{A_0,A_1,A_2,A_3\}$，在 $S$ 上定义运算 $\oplus$ 为：$A_i\oplus A_j=A_k$，其中 $k$ 为 $i+j$ 被 4 除的余数，$i,j=0,1,2,3$．则满足关系式 $(x\oplus x)\oplus A_2=A_0$ 的 $x(x\in S)$ 的个数为()

A. 4　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 逐步剥离：设未知数 $x=A_i$，将复合运算化简为关于指标 $i$ 的两步同余约束。

2. 建立方程：通过外层运算确定内层 $(x\oplus x)$ 的最终指标，进而通过被 4 拆分的余数方程锁定满足条件的 $i$ 的个数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设未知元素 $x=A_i$，其中下标 $i\in \{0,1,2,3\}$． 根据新定义规则，内层运算 $x\oplus x=A_i\oplus A_i=A_m$，其中 $m$ 是 $2i$ 被 4 除的余数． 此时原方程 $(x\oplus x)\oplus A_2=A_0$ 可转化为 $A_m\oplus A_2=A_0$． 再次套用运算定义可知，$m+2$ 被 4 除的余数为 0，即 $m+2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$． 因为 $m$ 是被 4 除的余数，故 $m\in \{0,1,2,3\}$，显然只有 $m=2$ 满足上式． 由此得到关于 $i$ 的同余方程：$2i$ 被 4 除的余数为 2，即 $2i\equiv 2(\mathrm{mod}4)$． 对所有可能的 $i$ 值进行逐一验证： 当 $i=0$ 时，$2\times 0=0\equiv 0(\mathrm{mod}4)$，不符； 当 $i=1$ 时，$2\times 1=2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，符合； 当 $i=2$ 时，$2\times 2=4\equiv 0(\mathrm{mod}4)$，不符； 当 $i=3$ 时，$2\times 3=6\equiv 2(\mathrm{mod}4)$，符合． 综上所述，满足条件的下标 $i$ 有 1 和 3 两个值，即 $x$ 可以是 $A_1$ 或 $A_3$，共有 2 个满足条件的元素． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义代数运算的规则解密，离散点集的穷举筛选，同余方程的基本应用。

2. 核心方法：由外向内的逆推法，有限集合的完全穷举验证法。

3. 避坑指南：容易在算完外层得出 $m=2$ 后，误以为最终解只有 1 个；必须清醒认识到这只是中间变量，需要进一步返回求出基准变量 $i$ 的所有多解可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于近现代高等数学近世代数（群论）中的循环群（Cyclic Group ${\mathbb{Z}}_4$）概念，是利用基础算术将高等数学抽象结构初等化的创新压轴题。

5. 结论推广：一般地，在模 $N$ 剩余系下的特殊代数运算中，形如 $(x\oplus x)\oplus A_a=A_b$ 的方程解的个数，完全取决于同余方程 $2i\equiv b-a(\mathrm{mod}N)$ 在区间 $[0,N-1]$ 内的整数解的个数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-12 单-正弦函数的极值与极值点