2007-陕西卷理-17 解-正弦型函数图象性质

本题导读

本题将平面向量的坐标数量积运算与三角恒等变换深度交汇。第一问考查待定系数法求未知参数，第二问利用辅助角公式将多元三角式统一为单一的正弦型函数，进而考查求最值及对应自变量集合的基础代数能力。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 设函数 $f(x)=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，其中向量 $\mathbf{a}=(m,\cos 2x)$，$\mathbf{b}=(1+\sin 2x,1)$，$x\in \mathbf{R}$，且函数 $y=f(x)$ 的图象经过点 $\left(\frac{\pi }{4},2\right)$．

(1) 求实数 $m$ 的值；

(2) 求函数 $f(x)$ 的最小值及此时 $x$ 值的集合．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据向量数量积的坐标公式将 $f(x)$ 展开，代入已知点坐标 $\left(\frac{\pi }{4},2\right)$ 建立方程，直接求出 $m$。

2. 第二问：将 $m=1$ 代入原式，利用辅助角公式 $A\sin \omega x+B\cos \omega x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega x+\varphi )$ 化简解析式，结合正弦函数的有界性确定最小值及其取得最值时的 $x$ 满足的通用数量关系。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 解：由向量数量积的坐标运算法则， $f(x)=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=m(1+\sin 2x)+\cos 2x\cdot 1=m+m\sin 2x+\cos 2x$． 因为函数 $y=f(x)$ 的图象经过点 $\left(\frac{\pi }{4},2\right)$， 所以 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=2$，即： $m+m\sin \left(2\times \frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(2\times \frac{\pi }{4}\right)=2$ $m+m\sin \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}=2$ 因为 $\sin \frac{\pi }{2}=1,\cos \frac{\pi }{2}=0$， 代入得 $m+m\times 1+0=2⟹2m=2⟹m=1$． 故实数 $m$ 的值为 1．

(2) 解：由 (1) 知 $m=1$，则函数解析式为： $f(x)=1+\sin 2x+\cos 2x$ 利用辅助角公式进行变形合并： $f(x)=1+\sqrt{1^2+1^2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$ 时，函数 $f(x)$ 取得最小值， $f(x{)}_{\text{min}}=1-\sqrt{2}$ 此时，自变量满足： $2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ $2x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ $x=-\frac{3\pi }{8}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 所以，函数 $f(x)$ 的最小值为 $1-\sqrt{2}$，此时 $x$ 值的集合为 $\left\{x|x=-\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的坐标公式 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，辅助角公式的系数化简，正弦型函数整体代换求最值的方法。

2. 核心方法：坐标公式代入法，整体变量换元法。

3. 避坑指南：(2)问求对应 $x$ 的集合时，必须写成集合的规范描述式表示形式，且不可漏掉周期项 $k\pi$ 以及限定条件 $k\in \mathbf{Z}$；辅助角公式中合成后的相位初相 $\frac{\pi }{4}$ 需严格由系数的正切值决定，避免错写。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中向量工具性应用的常规课后习题，属于典型的大纲高考解答题第一题位置上的“向量引路、三角压轴”的成熟标准拼盘题型。

5. 结论推广：对于形如 $f(x)=m\sin \omega x+n\cos \omega x+k$ 的一阶齐次三角表达式，其值域范围恒为 $[k-\sqrt{m^2+n^2},k+\sqrt{m^2+n^2}]$，对应的极值临界点对应的相位角由 $\tan \varphi =\frac{n}{m}$ 唯一确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-17 解-正弦定理