2007-陕西卷理-19 解-用空间向量求二面角

本题导读

本题以底面为直角梯形的四棱锥为载体，考查空间线面垂直的证明与二面角大小的求解。利用侧棱与底面的垂直特性建立空间直角坐标系，通过向量代数运算高效破局。

📌【题干】

Question

（2007年陕西卷(理)） 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AD\parallel BC,\angle ABC=90^{\circ },PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=4,AD=2,AB=2\sqrt{3},BC=6$．

(1) 求证：$BD\perp$ 平面 $PAC$；

(2) 求二面角 $A-PC-D$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，通过计算向量 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$ 证明线线垂直，结合线面垂直的定义完成第一问证明。

2. 第二问：分别求解平面 $PAC$ 和平面 $PCD$ 的法向量，利用法向量夹角公式计算其余弦值，进而确定二面角的大小。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AD\parallel BC$， 所以 $AB,AD,PA$ 两两互相垂直． 以 $A$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{PA}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$． 由题意可得相关各点的坐标为： $A(0,0,0),B(2\sqrt{3},0,0),C(2\sqrt{3},6,0),D(0,2,0),P(0,0,4)$． 则 $\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{3},6,0)$，$\overrightarrow{BD}=(-2\sqrt{3},2,0)$． 因为 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=2\sqrt{3}\times (-2\sqrt{3})+6\times 2+0\times 0=-12+12=0$， 所以 $BD\perp AC$． 又因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$BD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $PA\perp BD$． 因为 $AC\cap PA=A$，且 $AC,PA\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $BD\perp$ 平面 $PAC$．

(2) 解： 由 (1) 可知，$BD\perp$ 平面 $PAC$，故平面 $PAC$ 的一个法向量可取为 $\overrightarrow{n_1}=(-\sqrt{3},1,0)$． 设平面 $PCD$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$． 已知 $\overrightarrow{DC}=(2\sqrt{3},4,0)$，$\overrightarrow{DP}=(0,-2,4)$． 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{DC}=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{DP}=0\end{array}$ 得 $\{\begin{array}{l}2\sqrt{3}x+4y=0\\ -2y+4z=0\end{array}$， 令 $x=-4$，解得 $y=2\sqrt{3},z=\sqrt{3}$， 故 $\overrightarrow{n_2}=(-4,2\sqrt{3},\sqrt{3})$． 设二面角 $A-PC-D$ 的平面角为 $\theta$．由图可知 $\theta$ 为锐角， 则 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|(-\sqrt{3})\times (-4)+1\times 2\sqrt{3}+0|}{\sqrt{(-1\sqrt{3}{)}^2+1^2}\times \sqrt{(-4{)}^2+(2\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{6\sqrt{3}}{2\times \sqrt{31}}=\frac{3\sqrt{93}}{31}$． 所以，二面角 $A-PC-D$ 的大小为 $\arccos \frac{3\sqrt{93}}{31}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直棱特殊结构的建系与坐标化，线面垂直的向量判定，二面角法向量计算。

2. 核心方法：空间直角坐标系法，法向量求夹角法。

3. 避坑指南：建立直角坐标系时，注意直角梯形中 $BC$ 的 $y$ 轴坐标是基于平行关系同向叠加的；求得法向量夹角后，需通过几何图形验证二面角的实际范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于经典多面体中通过底面直角结构转化为规范向量化运算的标准题型。

5. 结论推广：在底面为直角梯形 $ABCD$ 且侧棱垂直于底面的锥体中，若底面几何参数满足 $A{B}^2=BC\cdot AD$，则对角线必垂直，进而导致对应的线面垂直结构恒成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II理-19 解-二面角