2008-陕西卷文-19 解-棱台垂直与二面角

本题导读

$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$A_1(0,0,\sqrt{3})$，$B_1(1,0,\sqrt{3})$，$C_1(0,1,\sqrt{3})$，$D(1,1,0)$；平面 $A_{1}AD$ 的法向量 $n_1=(1,-1,0)$，平面 $BC{C}_1{B}_1$ 的法向量 $n_2=(\sqrt{3},\sqrt{3},1)$，$n_1\cdot n_2=0$；(2)$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 三棱锥被平行于底面 $ABC$ 的平面所截得的几何体如图所示，截面为 $A_1{B}_1{C}_1$，$\angle BAC=90^{\circ }$，$A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$，$A_{1}A=\sqrt{3}$，$AB=AC=2A_1{C}_1=2$，$D$ 为 $BC$ 中点．

(1)证明：平面 $A_{1}AD\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$；

(2)求二面角 $A-C{C}_1-B$ 的大小．

🔍【思路分析】

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$\angle BAC=90^{\circ }$ 与 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABC$ 给出两两垂直的三线，建系条件齐备；截面平行底面时对应线段同比缩小，$A_1{C}_1=1$ 恰为 $AC$ 的一半，顶面坐标随之而定. (1)证法向量垂直；(2)二面角取两法向量夹角的锐角.

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$\arccos \frac{\sqrt{21}}{7}$（即 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)以 $A$ 为原点，分别以 $AB$、$AC$、$A{A}_1$ 的方向为$x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系．由题意，$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$A_1(0,0,\sqrt{3})$．因为截面 $A_1{B}_1{C}_1$ 平行于底面 $ABC$，且 $A_1{C}_1=1=\frac{1}{2}AC$，所以相应线段的长度都缩小为原来的一半，从而 $B_1(1,0,\sqrt{3})$，$C_1(0,1,\sqrt{3})$．又 $D$ 为 $BC$ 的中点，所以 $D(1,1,0)$． 平面 $A_{1}AD$ 内的向量 $A{A}_1=(0,0,\sqrt{3})$、$AD=(1,1,0)$，其一个法向量为 $n_1=(1,-1,0)$；平面 $BC{C}_1{B}_1$ 过 $B(2,0,0)$、$C(0,2,0)$、$B_1(1,0,\sqrt{3})$，其一个法向量为 $n_2=(\sqrt{3},\sqrt{3},1)$．因为 $n_1\cdot n_2=1\times \sqrt{3}+(-1)\times \sqrt{3}+0=0$，两平面的法向量互相垂直，所以平面 $A_{1}AD\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$. (2)平面 $AC{C}_1$ 内的两个向量可取 $AC=(0,2,0)$ 与 $C{C}_1=(0,-1,\sqrt{3})$，其一个法向量为 $n_3=(1,0,0)$．平面 $BC{C}_1$ 的一个法向量可取 $n_4=(\sqrt{3},\sqrt{3},1)$．设二面角 $A-C{C}_1-B$ 的平面角为 $\theta$，则 $\theta$ 取两平面法向量的夹角（锐角），$\cos \theta =\frac{|n_3\cdot n_4|}{|n_3||n_4|}=\frac{\sqrt{3}}{1\times \sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．所以二面角 $A-C{C}_1-B$ 的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{21}}{7}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量证面面垂直与求二面角

核心方法：建系求两平面法向量：法向量垂直证面面垂直，法向量夹角的余弦绝对值即二面角（取锐）的余弦

避坑指南：顶面坐标由”截面平行底面且 $A_1{C}_1=\frac{1}{2}AC$“整体缩小一半得出，别放反比例；法向量取 $(\sqrt{3},\sqrt{3},1)$ 比含 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的等价形式运算量小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材立体几何”空间向量解决垂直与角”的范式题

结论推广：台体（棱台）问题还原为锥体被截：截面平行底面时对应线段同比缩小；$\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}$

方法推广：空间向量法四步：建系（选两两垂直的三线）$\to$ 定坐标（用比例与中点）$\to$ 求法向量 $\to$ 算夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-19
• 2007-陕西卷理-19 解-用空间向量求二面角
• 2006-陕西卷理-19 解-空间直角坐标系的建立