2008-上海卷文-07 填-复数虚根与模

本题导读

考查虚根与模。实系数二次方程虚根共轭成对，$z=a\pm bi$ 型：$|z{|}^2=p=4$。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 若 $z$ 是实系数方程 $x^2+2x+p=0$ 的一个虚根，且 $|z|=2$，则 $p=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 实系数方程虚根成对：设 $z=1+bi$（实部 $=-\frac{2}{2}=1$）。
2. 代入方程或由韦达：$z\bar{z}=|z{|}^2=p$。
3. $|z|=2\Rightarrow |z{|}^2=4=p$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

实系数方程 $x^2+2x+p=0$ 的虚根成对共轭出现，设两虚根为 $z$、$\bar{z}$. 由韦达定理，$z\bar{z}=p$；又 $z\bar{z}=|z{|}^2$，所以 $p=|z{|}^2$. 由 $|z|=2$，得 $p=4$. （验证：$p=4$ 时方程 $x^2+2x+4=0$ 的根为 $x=-1\pm \sqrt{3}i$，$|x|=\sqrt{1+3}=2$，符合题意.） 故答案为 $4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：实系数方程的虚根与模

核心方法：$z\bar{z}=p$，$|z{|}^2=4\Rightarrow p=4$

避坑指南：实系数方程虚根成对：两根 $z$、$\bar{z}$；韦达 $z\bar{z}=p$ 而 $z\bar{z}=|z{|}^2$——模的平方直接就是常数项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：虚根成对 + 模是复数与方程的交叉题，2009 上海文第 19 题、2010 江苏卷第 2 题同型。

结论推广：$x^2+px+q=0$ 虚根 $z$、$\bar{z}$：$z+\bar{z}=-p$，$z\bar{z}=q=|z{|}^2$。

方法推广：两根之和 $z+\bar{z}=2\Re z=-2$ 给实部 $-1$——验算 $|-1+\sqrt{3}i{|}^2=4$ 与 $p=4$ 自洽。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2010-新课标卷文-03 单-复数模
• 2010-江苏卷-02 填-复数的模
• 2009-福建卷文-13 填-复数实部