2010-新课标卷文-03 单-复数模

本题导读

考查复数的模。$|z|=\frac{|\sqrt{3}+\mathrm{i}|}{|1-\sqrt{3}\mathrm{i}{|}^2}=\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 已知复数 $z=\frac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2}$，则 $|z|$ 等于()

A. $\frac{1}{4}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|\sqrt{3}+\mathrm{i}|=\sqrt{3+1}=2$。
2. $|1-\sqrt{3}\mathrm{i}|=\sqrt{1+3}=2$，$|(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2|=|1-\sqrt{3}\mathrm{i}{|}^2=4$。
3. $|z|=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由复数模的性质， $|z|=\frac{|\sqrt{3}+\mathrm{i}|}{|(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2|}=\frac{|\sqrt{3}+\mathrm{i}|}{|1-\sqrt{3}\mathrm{i}{|}^2}=\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}.$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的运算性质

核心方法：$|z_1/z_2|=|z_1|/|z_2|$，$|z^2|=|z{|}^2$

避坑指南：分母是 $(1-\sqrt{3}\mathrm{i}{)}^2$ 的模，等于 $|1-\sqrt{3}\mathrm{i}{|}^2=4$，不是 $|1-\sqrt{3}\mathrm{i}|=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：模的运算性质可以把”先算复数再求模”转化为”分别求模再算”，大幅降耗。

结论推广：$|-\mathrm{i}|=1$、$|1\pm \sqrt{3}\mathrm{i}|=2$ 等常见复数的模应熟记。

方法推广：求模不必化简复数，性质优先；化简是最后手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-02 单-复数除法
• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
• 2009-上海卷文-19 解-复数模与范围
• 2011-广东卷文-01 单-复数除法