2008-上海卷文-15 单-优于新定义劣弧

本题导读

考查新定义与圆弧。“优于”即坐标分量逐一更左上，不被优于的点是左上方边界：圆域的左上四分之一弧 $\widehat{DA}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 如图，在平面直角坐标系中，$\Omega$ 是一个与 $x$ 轴的正半轴、$y$ 轴的正半轴分别相切于点 $C$、$D$ 的定圆所围成区域（含边界），$A$、$B$、$C$、$D$ 是该圆的四等分点. 若点 $P(x,y)$、点 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 满足 $x⩽x^{\prime }$ 且 $y⩾y^{\prime }$，则称 $P$ 优于 $P^{\prime }$. 如果 $\Omega$ 中的点 $Q$ 满足：不存在 $\Omega$ 中的其它点优于 $Q$，那么所有这样的点 $Q$ 组成的集合是劣弧()

A. $\widehat{AB}$　　　　　　　B. $\widehat{BC}$　　　　　　　C. $\widehat{CD}$　　　　　　　D. $\widehat{DA}$

🔍【思路分析】

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1. ”$P$ 优于 $P^{\prime }$”$⟺P$ 横坐标不大于 $P^{\prime }$ 且纵坐标不小于 $P^{\prime }$，即 $P$ 位于 $P^{\prime }$ 的”左上方向”。
2. $Q$ 不被其它点优于 $⟺$ $\Omega$ 中没有点在 $Q$ 的左上方 $⟺$ $Q$ 属于 $\Omega$ 的左上方边界。
3. 圆与两正半轴相切：$C$ 为最下点（切 $x$ 轴）、$D$ 为最左点（切 $y$ 轴）；四等分点中 $A$ 为最上点、$B$ 为最右点。
4. 左上方边界为从最左点 $D$ 逆时针到最上点 $A$ 的劣弧 $\widehat{DA}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由定义，”$P$ 优于 $P^{\prime }$“意味着 $P$ 在 $P^{\prime }$ 的左上方（横坐标更小、纵坐标更大）. 点 $Q$ 不被 $\Omega$ 中任何其它点优于，等价于 $\Omega$ 内不存在位于 $Q$ 左上方的点，即 $Q$ 落在 $\Omega$ 的左上方边界上. 设圆半径为 $r$，圆心为 $(r,r)$（与两正半轴相切），则四个四等分点依次为： $C(r,0)$（最下点，切 $x$ 轴）、$B(2r,r)$（最右点）、$A(r,2r)$（最上点）、$D(0,r)$（最左点，切 $y$ 轴）. $\Omega$ 的左上方边界是从最左点 $D(0,r)$ 沿圆周到最上点 $A(r,2r)$ 的四分之一圆弧，即劣弧 $\widehat{DA}$. （例如 $\widehat{CD}$ 上的点：其右侧同高度的圆内点都优于它，故不在集合中；$\widehat{DA}$ 上的点：左上方再无圆内点.） 所以所求集合为劣弧 $\widehat{DA}$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义”优于”与圆弧边界

核心方法：$Q$ 不被优于 $⟺Q$ 在左上方边界 $⟺Q\in$ 劣弧 $\widehat{DA}$

避坑指南：”$P$ 优于 $P^{\prime }$“即 $P$ 在 $P^{\prime }$ 左上方；“不被优于”的点集是区域在左上方向的 Pareto 前沿——圆域即最左点 $D$ 到最上点 $A$ 的弧。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义 + 圆弧边界是上海卷压轴选择题风格，2009 北京文第 8 题、2009 新课标Ⅰ文第 12 题同型。

结论推广：切点即极值点：$C$ 最下、$D$ 最左、$A$ 最上、$B$ 最右（四等分点）。

方法推广：用具体点检验：$\widehat{DA}$ 中点左上方无圆内点 ✓；$\widehat{CD}$ 上的点右侧同高点可优于它 ✗——两点定乾坤。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-08 单-正三角形新定义区域
• 2009-新课标卷文-12 单-min新定义最值
• 2009-四川卷文-16 填-线性变换新定义
• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算