2009-北京卷文-08 单-正三角形新定义区域

本题导读

新定义压轴。$|P{P}_0|⩽|P{P}_i|$ 即 $P$ 与 $P_0$ 同侧于 $P_0{P}_i$ 的垂直平分线，三个条件取交，得正六边形。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 设 $D$ 是正 $△P_1{P}_2{P}_3$ 及其内部的点构成的集合，点 $P_0$ 是 $△P_1{P}_2{P}_3$ 的中心.若集合 $S=\{P\mid P\in D,|P{P}_0|⩽|P{P}_i|,i=1,2,3\}$，则集合 $S$ 表示的平面区域是 ()

A. 三角形区域　B. 四边形区域　C. 五边形区域　D. 六边形区域

🔍【思路分析】

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1. 条件 $|P{P}_0|⩽|P{P}_1|$ 表示 $P$ 在线段 $P_0{P}_1$ 垂直平分线的 $P_0$ 一侧（含线上），同理对 $P_2$、$P_3$。
2. 三条垂直平分线过中心、把三角形分成受约束区域，与三角形边界相交出六段。
3. 交集是六边形区域。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$|P{P}_0|⩽|P{P}_i|$ 表示点 $P$ 到 $P_0$ 的距离不超过到 $P_i$ 的距离，即 $P$ 位于线段 $P_0{P}_i$ 的垂直平分线上或其 $P_0$ 一侧。 三条垂直平分线分别过中心 $P_0$ 且平行于三角形的三条边（由正三角形对称性），它们把 $△P_1{P}_2{P}_3$ 内部划分为若干区域。 三个半平面约束取交集：每条垂直平分线在三角形内截出一段边界，共六段边界，围成以 $P_0$ 为中心的正六边形区域。 故 $S$ 表示的平面区域是六边形区域，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义平面区域与垂直平分线

核心方法：距离条件化为半平面取交

避坑指南：$|P{P}_0|⩽|P{P}_i|$ 即 $P$ 在 $P_0{P}_i$ 垂直平分线的 $P_0$ 一侧；三条对称的垂直平分线把正三角形切成中心正六边形。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义 + 平面区域是北京卷特色题型。

结论推广：两点距离比较 $⟺$ 垂直平分线两侧分域。

方法推广：利用正三角形的三重对称性数边界段数，比逐点计算高效。

🔗【关联脉络】

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