2008-上海卷文-17 解-扇形小区余弦定理

本题导读

考查余弦定理应用。$A$、$D$、$O$ 共线得 $\angle ODC=60^{\circ }$，$△ODC$ 中用余弦定理列关于 $R$ 的方程，$R\approx 445$ 米。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)） 如图，某住宅小区的平面图呈扇形 $AOC$. 小区的两个出入口设置在点 $A$ 及点 $C$ 处，小区里有两条笔直的小路 $AD$、$DC$，且拐弯处的转角为 $120^{\circ }$. 已知某人从 $C$ 沿 $CD$ 走到 $D$ 用了 $10$ 分钟，从 $D$ 沿 $DA$ 走到 $A$ 用了 $6$ 分钟. 若此人步行的速度为每分钟 $50$ 米，求该扇形的半径 $OA$ 的长.（精确到 $1$ 米）

🔍【思路分析】

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1. 步行速度 $50$ 米/分：$AD=6\times 50=300$ 米，$CD=10\times 50=500$ 米。
2. 由图，$A$、$D$、$O$ 共线且 $D$ 在线段 $AO$ 上：$OD=R-300$；$\angle CDA=120^{\circ }$，射线 $DO$ 与 $DA$ 反向，$\angle ODC=60^{\circ }$。
3. $△ODC$ 中余弦定理：$O{C}^2=O{D}^2+C{D}^2-2\cdot OD\cdot CD\cdot \cos 60^{\circ }$。
4. $R^2=(R-300{)}^2+500^2-500(R-300)$，解出 $R$。

✅【答案】

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扇形半径 $OA$ 的长约为 $445$ 米

✍【详细解析】

Abstract

由步行速度每分钟 $50$ 米，得 $AD=6\times 50=300\text{米},CD=10\times 50=500\text{米}.$ 由图可知 $A$、$D$、$O$ 共线，且 $D$ 在线段 $AO$ 上. 设扇形半径 $OA=R$，则 $OD=R-300$. 因为 $\angle CDA=120^{\circ }$，而射线 $DO$ 与射线 $DA$ 方向相反，所以 $\angle ODC=60^{\circ }$. 在 $△ODC$ 中，由余弦定理， $R^2=(R-300{)}^2+500^2-2(R-300)\times 500\times \cos 60^{\circ }.$ 整理： $R^2=R^2-600R+90000+250000-500R+150000=R^2-1100R+490000,$ 所以 $1100R=490000\Rightarrow R=\frac{490000}{1100}\approx 445.45\text{米}.$ 按题意精确到 $1$ 米，扇形半径 $OA$ 的长约为 $445$ 米.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：扇形与余弦定理建模

核心方法：$R^2=(R-300{)}^2+500^2-500(R-300)$，$R\approx 445$ 米

避坑指南：行程数据换边长：速度 × 时间；$A$、$D$、$O$ 共线是图形隐含条件，$\angle ODC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$ 转出来；余弦定理列关于 $R$ 的方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“小区/航道 + 余弦定理”是解三角形应用题，2009 辽宁文第 18 题、2010 福建文第 21 题同型。

结论推广：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$；相邻角互补：$\angle ODC=60^{\circ }$。

方法推广：方程里 $R^2$ 两边抵消后剩一次方程——先整理再解；精确到 $1$ 米按四舍五入，$445.45\to 445$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2009-辽宁卷文-18 解-仰角测量解三角形
• 2010-福建卷文-21 解-航行相遇解三角形应用
• 2010-浙江卷文-18 解-解三角形与最值