2008-上海卷文-21 解-双周期数列交错求和

本题导读

考查双周期交错数列。 $a_{n + 3} = a_{n} + 2$ 与 $b_{n}$ 周期 $4$ 耦合成 $12$ 项一节；每节贡献 $- 4$ ；第三问枚举六组表达式，定 $m = 24$ 、 $r = 1$ 。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(文)）已知数列 ${a_{n}}$ ： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{3} = r$ ， $a_{n + 3} = a_{n} + 2$ （ $n$ 是正整数），与数列 ${b_{n}}$ ： $b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 0$ ， $b_{3} = - 1$ ， $b_{4} = 0$ ， $b_{n + 4} = b_{n}$ （ $n$ 是正整数）. 记 $T_{n} = b_{1} a_{1} + b_{2} a_{2} + b_{3} a_{3} + \dots + b_{n} a_{n}$ .

(1)若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{12} = 64$ ，求 $r$ 的值；

(2)求证：当 $n$ 是正整数时， $T_{12 n} = - 4 n$ ；

(3)已知 $r > 0$ ，且存在正整数 $m$ ，使得在 $T_{12 m + 1}$ ， $T_{12 m + 2}$ ， $\dots$ ， $T_{12 m + 12}$ 中有 $4$ 项为 $100$ ，求 $r$ 的值，并指出哪 $4$ 项为 $100$ .

🔍【思路分析】

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(1) $a_{n + 3} = a_{n} + 2$ ：前 $12$ 项为 $1, 2, r, 3, 4, r + 2, 5, 6, r + 4, 7, 8, r + 6$ ，直接相加得 $48 + 4 r$ ，令 $48 + 4 r = 64$ 解 $r = 4$ 。

(2) $b_{n}$ 周期 $1, 0, - 1, 0$ ：每 $12$ 项中只有奇数下标项有贡献， $T_{12 (k + 1)} - T_{12 k} = (8 k + 1) - (8 k + r) + (8 k + 4) - (8 k + 5) + (8 k + r + 4) - (8 k + 8) = - 4$ ；又 $T_{12} = 1 - r + 4 - 5 + (r + 4) - 8 = - 4$ ，累加得 $T_{12 n} = - 4 n$ 。

(3)逐项： $T_{12 m + 1} = T_{12 m + 2} = 1 + 4 m$ ， $T_{12 m + 3} = T_{12 m + 4} = 1 - r - 4 m$ ， $T_{12 m + 5} = T_{12 m + 6} = 5 - r + 4 m$ ， $T_{12 m + 7} = T_{12 m + 8} = - r - 4 m$ ， $T_{12 m + 9} = T_{12 m + 10} = 4 + 4 m$ ， $T_{12 m + 11} = T_{12 m + 12} = - 4 - 4 m$ 。

$m$ 正整数、 $r > 0$ ：第二、四、六组恒负；第一组 $1 + 4 m = 100$ 给 $m = \frac{99}{4}$ 非整数。

只能第三、五组同时为 $100$ ： $5 - r + 4 m = 100$ 且 $4 + 4 m = 100$ ， $m = 24$ ， $r = 1$ ；四项为 $T_{12 m + 5}, T_{12 m + 6}, T_{12 m + 9}, T_{12 m + 10}$ 。

✅【答案】

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(1) $r = 4$ ；(2)证明见解析；(3) $r = 1$ ，为 $100$ 的四项是 $T_{12 m + 5}$ ， $T_{12 m + 6}$ ， $T_{12 m + 9}$ ， $T_{12 m + 10}$ （其中 $m = 24$ ）

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $a_{n + 3} = a_{n} + 2$ ，数列每 $3$ 项一节：前 $12$ 项为 $1, 2, r, 3, 4, r + 2, 5, 6, r + 4, 7, 8, r + 6.$ 其和为 $1 + 2 + r + 3 + 4 + r + 2 + 5 + 6 + r + 4 + 7 + 8 + r + 6 = 48 + 4 r$ . 由题设 $48 + 4 r = 64$ ，解得 $r = 4$ . (2)由 $a_{n + 3} = a_{n} + 2$ ，对 $1 ⩽ j ⩽ 12$ 有 $a_{12 k + j} = a_{j} + 8 k$ ；又 $b_{n}$ 的一个周期为 $1, 0, - 1, 0$ ，每连续 $12$ 项中只有下标 $12 k + 1$ ， $12 k + 3$ ， $12 k + 5$ ， $12 k + 7$ ， $12 k + 9$ ， $12 k + 11$ 的项对 $T_{n}$ 有贡献. 于是 $T_{12 (k + 1)} - T_{12 k} = (8 k + 1) - (8 k + r) + (8 k + 4) - (8 k + 5) + (8 k + r + 4) - (8 k + 8) = - 4.$ 又直接计算 $T_{12} = a_{1} - a_{3} + a_{5} - a_{7} + a_{9} - a_{11} = 1 - r + 4 - 5 + (r + 4) - 8 = - 4$ . 每个长度为 $12$ 的分组贡献 $- 4$ ，所以 $T_{12 n} = - 4 n$ . (3)由(2)， $T_{12 m} = - 4 m$ ，逐项计算可得： $T_{12 m + 1} = T_{12 m + 2} = 1 + 4 m, T_{12 m + 3} = T_{12 m + 4} = 1 - r - 4 m, T_{12 m + 5} = T_{12 m + 6} = 5 - r + 4 m,$ $T_{12 m + 7} = T_{12 m + 8} = - r - 4 m, T_{12 m + 9} = T_{12 m + 10} = 4 + 4 m, T_{12 m + 11} = T_{12 m + 12} = - 4 - 4 m .$ 其中 $m$ 为正整数、 $r > 0$ ，所以第二、第四和第六组的值均小于 $0$ . 若第一组的值等于 $100$ ，则 $1 + 4 m = 100$ ， $m = \frac{99}{4}$ ，与 $m$ 为正整数矛盾. 要有四项为 $100$ ，只能使第三组和第五组同时等于 $100$ ： ${5 - r + 4 m = 100, 4 + 4 m = 100,$ 由此得 $m = 24$ ， $r = 1$ . 所以为 $100$ 的四项是 $T_{12 m + 5}$ ， $T_{12 m + 6}$ ， $T_{12 m + 9}$ ， $T_{12 m + 10}$ （此时 $m = 24$ ）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双周期数列的交错求和

核心方法： $T_{12 n} = - 4 n$ ； $m = 24$ ， $r = 1$

避坑指南： $a_{n + 3} = a_{n} + 2$ 与 $b_{n}$ 周期 $4$ 的”最小公倍节”是 $12$ ；每节贡献常数 $- 4$ ；第三问枚举六组部分和表达式，双参数 $m$ 、 $r$ 靠两组方程锁定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：周期递推 + 加权部分和是上海卷压轴数列题，2009 湖北文第 19 题、2011 天津文第 20 题同型。

结论推广： $a_{12 k + j} = a_{j} + 8 k$ （下标每加 $12$ 值加 $8$ ）； $T_{n + 1} - T_{n} = b_{n + 1} a_{n + 1}$ 。

方法推广：第三问先算六组对值再筛正负——恒负的组直接出局；“四项为 $100$ “实为两组对值各两次（ $b$ 的零项复制），认清结构免于逐项硬枚举。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

2009-辽宁卷文-06 单-分段递推求值

2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系

2011-天津卷文-20 解-奇偶递推数列与放缩

2010-上海卷文-21 解-Sn与an递推等比

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2008-上海卷文-21 解-双周期数列交错求和

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