2009-辽宁卷文-06 单-分段递推求值

本题导读

考查分段递推。$2+{\log }_{2}3<4$，代入得 $f(3+{\log }_{2}3)$，此时 $>4$，$f={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3+{\log }_{2}3}=\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{24}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 满足：当 $x⩾4$ 时，$f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$；当 $x<4$ 时，$f(x)=f(x+1)$.则 $f(2+{\log }_{2}3)=$ ()

A. $\frac{1}{24}$　　　　　　B. $\frac{1}{12}$　　　　　　C. $\frac{1}{8}$　　　　　　D. $\frac{3}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2<2+{\log }_{2}3\approx 3.585<4$，故 $f(2+{\log }_{2}3)=f(3+{\log }_{2}3)$，而 $3+{\log }_{2}3>4$。
2. $f={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3+{\log }_{2}3}=\frac{1}{8}\cdot 2^{-{\log }_{2}3}=\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{24}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $2<2+{\log }_{2}3<4$，用 $x<4$ 的解析式：$f(2+{\log }_{2}3)=f(3+{\log }_{2}3)$。 由 $3+{\log }_{2}3>4$，代入指数式：$f(3+{\log }_{2}3)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3+{\log }_{2}3}=\frac{1}{8}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{{\log }_{2}3}$。 由对数恒等式 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{{\log }_{2}3}=2^{-{\log }_{2}3}=\frac{1}{3}$。 所以 $f(2+{\log }_{2}3)=\frac{1}{8}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{24}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数求值与对数运算

核心方法：反复代入抬升自变量 + 对数恒等式

避坑指南：$2+{\log }_{2}3<4$ 只需抬一次；${\left(\frac{1}{2}\right)}^{{\log }_{2}3}=2^{-{\log }_{2}3}=\frac{1}{3}$，负指数别丢倒数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：递推型 $f(x)=f(x+1)$ 求值是分段函数常考形态。

结论推广：$x<4$ 时逐次 $+1$ 直到进入 $x⩾4$ 的表达区间。

方法推广：$3+{\log }_{2}3={\log }_2(8\times 3)={\log }_{2}24$，指数 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{{\log }_{2}24}=\frac{1}{24}$ 两种算法互相验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-12 填-分段函数方程
• 2011-江苏卷-11 填-分段函数求参数
• 2009-大纲卷I文-06 单-反函数求值