2010-上海卷文-21 解-Sn与an递推等比

本题导读

考查数列综合。$a_n=1-15{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}$，$S_n=75{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}+n-90$，最小 $n=15$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n=n-5a_n-85$，$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$.

(1)证明：$\{a_n-1\}$ 是等比数列；

(2)求数列 $\{S_n\}$ 的通项公式，并求出使得 $S_{n+1}>S_n$ 成立的最小正整数 $n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $n=1$：$a_1=1-5a_1-85$，$a_1=-14$。
2. $n⩾2$：$a_n=S_n-S_{n-1}=1-5a_n+5a_{n-1}$，即 $6(a_n-1)=5(a_{n-1}-1)$。
3. $\{a_n-1\}$ 首项 $-15$、公比 $\frac{5}{6}$，$a_n=1-15{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}$。
4. 代回得 $S_n=75{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}+n-90$。
5. $S_{n+1}>S_n⟺a_{n+1}>0⟺{\left(\frac{5}{6}\right)}^n<\frac{1}{15}$，$n>\frac{\lg 15}{\lg 6-\lg 5}\approx 14.85$，最小 $n=15$。

✅【答案】

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(2) $S_n=75{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}+n-90$；最小正整数 $n=15$

✍【详细解析】

Abstract

（1）当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=1-5a_1-85$，解得 $a_1=-14$。 当 $n⩾2$ 时， $a_n=S_n-S_{n-1}=(n-5a_n-85)-(n-1-5a_{n-1}-85)=1-5a_n+5a_{n-1},$ 整理得 $6a_n=5a_{n-1}+1$，即 $6(a_n-1)=5(a_{n-1}-1)\Rightarrow a_n-1=\frac{5}{6}(a_{n-1}-1).$ 又 $a_1-1=-15\ne 0$，故 $\{a_n-1\}$ 是以 $-15$ 为首项、$\frac{5}{6}$ 为公比的等比数列。 （2）由（1）： $a_n-1=-15{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}\Rightarrow a_n=1-15{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}.$ 代入 $S_n=n-5a_n-85$： $S_n=n-5\left[1-15{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}\right]-85=75{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}+n-90.$ 而 $S_{n+1}>S_n⟺a_{n+1}>0⟺1-15{\left(\frac{5}{6}\right)}^n>0⟺{\left(\frac{5}{6}\right)}^n<\frac{1}{15}.$ 两边取对数： $n>\frac{\lg 15}{\lg 6-\lg 5}\approx \frac{1.1761}{0.0792}\approx 14.85,$ 故使得 $S_{n+1}>S_n$ 成立的最小正整数 $n=15$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的关系与等比数列

核心方法：作差构造递推，凑出 $a_n-1$ 的等比结构

避坑指南：$a_n=S_n-S_{n-1}$ 只对 $n⩾2$ 成立，$a_1$ 要单独算；$S_{n+1}>S_n⟺a_{n+1}>0$ 这一步转化是第（2）问的关键，不要直接比较 $S_n$ 的表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：形如 $S_n=f(a_n,n)$ 的递推，作差消 $S$ 是通法。

结论推广：递推 $a_{n+1}=q{a}_n+b$ 用待定常数法凑等比：$a_{n+1}-c=q(a_n-c)$。

方法推广：指数不等式 ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n<\frac{1}{15}$ 两边取对数求解。

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