2008-上海卷理-04 填-函数

本题导读

本题考查函数与其反函数之间的映射对应关系，通过互为反函数的充要条件考查对反函数核心性质的理解。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 若函数 $f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)=x^2$ ($x>0$)，则 $f(4)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用反函数的映射定义，将求 $f(4)$ 转化为求满足 $f^{-1}(y)=4$ 的 $y$ 值。
2. 结合反函数的定义域与值域限制，确定最终的唯一有效解。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(4)=y$，根据反函数的性质可知 $f^{-1}(y)=4$。 因为 $f^{-1}(x)=x^2$ ($x>0$)， 所以 $y^2=4$。 由于反函数 $f^{-1}(x)$ 的定义域为 $x>0$，其对应的值域为 $y>0$， 即原函数 $f(x)$ 的定义域要求 $y>0$， 因此舍去负根，解得 $y=2$，即 $f(4)=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：互为反函数的对应关系 $f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$。
2. 核心方法：映射对值互换法，无需逆推求原函数的具体解析式。
3. 避坑指南：直接解 $y^2=4$ 会得到 $\pm 2$，切记结合反函数的值域范围（原函数定义域）进行正负号筛选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材中关于反函数基本概念及自变量因变量对调关系的经典性质题。
2. 结论推广: 设函数 $f(x)$ 存在反函数，则求解 $f(k)$ 的本质就是解方程 $f^{-1}(x)=k$，且解必须落在 $f^{-1}(x)$ 的值域内。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项