2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项

本题导读

考查函数与数列综合。$f$ 奇且严格增，$f(a_{14-j})+f(a_{14+j})>0$（$a_{14}>0$ 时），故和为零只能 $a_{14}=0$，$k=14$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x$.项数为 $27$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，且公差 $d\ne 0$.若 $f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_{27})=0$，则当 $k=$ $\underline{}$ 时，$f(a_k)=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f$ 是奇函数且 $f^{\prime }(x)=\cos x+{\sec }^{2}x>0$，在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 严格增。
2. 若 $a_{14}>0$：每对 $a_{14\pm j}$ 的函数值之和为正；$a_{14}<0$ 时全为负。均与总和为零矛盾。
3. 故 $a_{14}=0$，$f(a_{14})=f(0)=0$，$k=14$。

✅【答案】

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$14$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\sin x+\tan x$ 是奇函数，且 $f^{\prime }(x)=\cos x+{\sec }^{2}x>0$，故 $f$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 上严格递增。 等差数列的中项为 $a_{14}$，第 $14-j$ 项与第 $14+j$ 项可写成 $a_{14}-u$ 与 $a_{14}+u$，其中 $u=|jd|>0$。 若 $a_{14}>0$：当 $a_{14}-u⩾0$ 时两项函数值之和为正；当 $a_{14}-u<0$ 时，由严格递增与奇函数性质，$a_{14}+u>u-a_{14}>0\Rightarrow f(a_{14}+u)>f(u-a_{14})=-f(a_{14}-u)$，和仍为正。所有成对项之和以及 $f(a_{14})$ 都为正，总和不可能为零。同理 $a_{14}<0$ 时总和为负。 因此只能 $a_{14}=0$，此时 $f(a_{14})=f(0)=0$，所以 $k=14$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性、单调性与等差数列

核心方法：奇且增逼迫中项为零

避坑指南：$a_{14}>0$ 时每对和为正、$a_{14}<0$ 时为负，总和为零只剩 $a_{14}=0$；“严格增”是成对比较 $f(a_{14}+u)>f(u-a_{14})$ 的依据，别省略。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数 + 等差数列中项是上海卷压轴填空的经典组合。

结论推广：配对：$f(a_{14}-u)+f(a_{14}+u)>0$（$a_{14}>0$）。

方法推广：中项 $a_{14}$ 的符号分三类讨论，逻辑必须写全：正、负、零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-10 单-奇函数周期求值
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性