2008-上海卷理-18 解-两角和差

本题导读

本题考查三角函数的综合应用。第一问考查特殊角三角函数值的代入计算；第二问考查通过两角和公式展开与辅助角公式化简，求解闭区间上正弦型函数的最值，侧重对三角恒等变换基本功的考查。

📌【题干】

Question

（2008年上海卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin 2x$，$g(x)=\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$，直线 $x=t$ ($t\in \mathbf{R}$) 与函数 $f(x)$、$g(x)$ 的图象分别交于 $M$、$N$ 两点.

(1)当 $t=\frac{\pi }{4}$ 时，求 $|MN|$ 的值；

(2)求 $|MN|$ 在 $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据绝对值的几何意义， $|MN|=|f(t)-g(t)|$。将 $t=\frac{\pi }{4}$ 分别代入 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式中算出具体数值，再做差取绝对值。
2. 第二问：写出含参数 $t$ 的差值绝对值函数表达式。利用两角和的余弦公式将 $g(t)$ 展开，与 $f(t)$ 合并，再利用辅助角公式化为单弦函数。结合 $t$ 的取值范围确定相角范围，从而求得最大值。

✅【答案】

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（1）当𝑡=π4时，𝑀、𝑁的纵坐标分别为𝑓(π4)=sinπ

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意可知，直线 $x=t$ 与两函数图象交点的纵坐标分别为 $f(t)$ 和 $g(t)$， 所以 $|MN|=|f(t)-g(t)|=\left|\sin 2t-\cos \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)\right|$。

(1)当 $t=\frac{\pi }{4}$ 时， $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(2\times \frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{2}=1$； $g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\cos \left(2\times \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{6}\right)=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$。 所以 $|MN|=\left|1-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\frac{3}{2}$。

(2)先对绝对值内部的函数进行恒等变换： $\sin 2t-\cos \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2t-\left(\cos 2t\cos \frac{\pi }{6}-\sin 2t\sin \frac{\pi }{6}\right)$ $=\sin 2t-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2t+\frac{1}{2}\sin 2t=\frac{3}{2}\sin 2t-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2t$ 利用辅助角公式提取 $\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$： $\frac{3}{2}\sin 2t-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2t=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2t-\frac{1}{2}\cos 2t\right)=\sqrt{3}\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)$ 因此，$|MN|=\left|\sqrt{3}\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)\right|=\sqrt{3}\left|\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)\right|$。 因为 $t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，所以 $2t\in [0,\pi ]$， 从而可得相角范围：$2t-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi \right]$。 在此区间内，当 $2t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$（即 $t=\frac{\pi }{3}\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$）时，$\sin \left(2t-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 1。 此时 $|MN|$ 取得最大值 $\sqrt{3}\times 1=\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两点间距离的绝对值表示、诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$、辅助角公式。
2. 核心方法：三角变换中的“化一”思想，即把多个三角函数的和差化为一个角的一种三角函数形式。
3. 避坑指南：

• 第一问求 $g\left(\frac{\pi }{4}\right)$ 时，注意诱导公式变名后的正负号变化，避免产生符号笔误；
• 第二问由于带有绝对值号，求最值时应先分析内部正弦函数的值域边界，本题中正弦函数能取到 1，故最大值直接由正界决定。若内部取不到 1 但能取到 -1，绝对值后亦能取到最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中利用两角和差公式与辅助角公式研究复合三角函数性质的典型例题，是高考三角大题的经典常青树题型。
2. 结论推广: 对于两平行直线间夹持的动态线段长问题，本质是研究两函数差函数的振幅。形如 $f(x)=A\sin \omega x$ 与 $g(x)=B\cos (\omega x+\varphi )$ 在同轴上的垂直割线长最值，其最大值在上界允许时恒等于两波形合成后的总振幅 $\sqrt{A^2+B^2-2AB\sin \varphi }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数