2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数

本题导读

考查同角关系。$\cot A=-\frac{12}{5}<0$ 知 $A$ 为钝角，$\cos A$ 取负；$\tan A=-\frac{5}{12}$ 代平方关系。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 已知 $△ABC$ 中，$\cot A=-\frac{12}{5}$，则 $\cos A=$ ()

A. $\frac{12}{13}$　　　　　B. $\frac{5}{13}$　　　　　C. $-\frac{5}{13}$　　　　　D. $-\frac{12}{13}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cot A<0\Rightarrow A\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，$\cos A<0$，排除 A、B。
2. $\tan A=-\frac{5}{12}$，${\cos }^{2}A=\frac{1}{1+{\tan }^{2}A}=\frac{144}{169}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cot A=-\frac{12}{5}<0$ 知 $A$ 为钝角，故 $\cos A<0$，排除 A、B。 $\tan A=\frac{1}{\cot A}=-\frac{5}{12}$，由平方关系 ${\cos }^{2}A=\frac{1}{1+{\tan }^{2}A}=\frac{1}{1+\frac{25}{144}}=\frac{144}{169},$ 结合 $\cos A<0$ 得 $\cos A=-\frac{12}{13}$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数的基本关系

核心方法：$\cot$ 化 $\tan$ + 平方关系定符号

避坑指南：$\cot A<0$ 说明 $A$ 是钝角，$\cos A$ 必为负；只算出 $\frac{12}{13}$ 不定符号就错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角关系求值是全国卷高频小题。

结论推广：${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 与 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$ 联立可解 $\cos A$。

方法推广：三角形内角的三角函数值先由符号定象限，再代公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数
• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数
• 2012-辽宁卷文-06 单-同角三角函数求值