2008-北京卷文-14 填-偶函数单调性条件判定

本题导读

考查偶函数与单调性。$f$ 偶且在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 增，$f(x_1)>f(x_2)⟺|x_1|>|x_2|⟺x_1^2>x_2^2$，条件②充分；①③不充分，填②。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2-\cos x$，对于 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的任意 $x_1$，$x_2$，有如下条件： ① $x_1>x_2$；② $x_1^2>x_2^2$；③ $|x_1|>x_2$. 其中能使 $f(x_1)>f(x_2)$ 恒成立的条件序号是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $f(-x)=x^2-\cos x=f(x)$，偶函数；$f^{\prime }(x)=2x+\sin x$，当 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$ 时 $f^{\prime }(x)⩾0$，$f$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 增，在 $[-\frac{\pi }{2},0]$ 减。
2. 故 $f(x_1)>f(x_2)⟺|x_1|>|x_2|⟺x_1^2>x_2^2$。
3. 逐条检验：① $x_1>x_2$ 不保证 $|x_1|>|x_2|$；③ $|x_1|>x_2$ 在 $x_2<0$ 时不保证 $|x_1|>|x_2|$；②等价，充分。

✅【答案】

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②

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(-x)=(-x{)}^2-\cos (-x)=x^2-\cos x=f(x)$，所以 $f(x)$ 是偶函数. 又 $f^{\prime }(x)=2x+\sin x$，当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $f^{\prime }(x)⩾0$，故 $f$ 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[-\frac{\pi }{2},0\right]$ 上单调递减. 于是对 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上任意 $x_1$，$x_2$， $f(x_1)>f(x_2)⟺|x_1|>|x_2|⟺x_1^2>x_2^2.$ 检验三个条件： ① $x_1>x_2$ 不能保证 $|x_1|>|x_2|$（如 $x_1=-1$，$x_2=0$，$f(x_1)<f(x_2)$），不充分； ② $x_1^2>x_2^2⟺|x_1|>|x_2|$，充分； ③ 当 $x_2<0$ 时 $|x_1|>x_2$ 恒成立（如 $x_1=0$，$x_2=-1$，$f(0)<f(-1)$），不充分. 故只有条件②能使 $f(x_1)>f(x_2)$ 恒成立. 故答案为②.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数与单调性的条件判定

核心方法：$f$ 偶且在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 增 $\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)⟺x_1^2>x_2^2$，仅②充分

避坑指南：$f^{\prime }(x)=2x+\sin x⩾0$（$x⩾0$）是”先求导再判单调”的标准动作；偶函数把两侧单调性挂到 $|x|$ 上；条件①③的”不充分”各举一个反例即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“条件筛选型”填空考查逻辑与性质的综合，2009 福建文第 8 题、2013 北京文第 3 题同型。

结论推广：偶函数：$f(x_1)>f(x_2)⟺|x_1|>|x_2|$（在单调半区间上）；$x_1^2>x_2^2⟺|x_1|>|x_2|$。

方法推广：先证 $f$ 的奇偶性与单调性，再翻译条件；反例要具体取值（如 $x_1=-1,x_2=0$），不能空说”不保证”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2009-陕西卷文-10 单-偶函数单调性
• 2010-北京卷文-06 单-函数单调性判断
• 2013-北京卷文-03 单-偶函数减区间