2009-陕西卷文-10 单-偶函数单调性

本题导读

考查偶函数与单调性。$f$ 在 $[0,+\infty )$ 递减，$f(-2)=f(2)$，由 $3>2>1$ 得 $f(3)<f(-2)<f(1)$，选 A。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足：对任意的 $x_1,x_2\in [0,+\infty )$（$x_1\ne x_2$），有 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0$.则 ()

A. $f(3)<f(-2)<f(1)$　　　　　　　　　　　　B. $f(1)<f(-2)<f(3)$

C. $f(-2)<f(1)<f(3)$　　　　　　　　　　　　D. $f(3)<f(1)<f(-2)$

🔍【思路分析】

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1. 差商恒负 $\Rightarrow f$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减。
2. 偶函数：$f(-2)=f(2)$。
3. $1<2<3$，故 $f(3)<f(2)=f(-2)<f(1)$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0$ 对任意 $x_1\ne x_2$ 成立， 知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减。 又 $f(x)$ 是偶函数，$f(-2)=f(2)$。 因为 $1<2<3$，所以 $f(3)<f(2)<f(1)$，即 $f(3)<f(-2)<f(1)$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：差商符号判单调性与偶函数对称

核心方法：由 $f(-2)=f(2)$ 化到同一单调区间再比较

避坑指南：差商 $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0$ 对应单调递减，不等号方向看清；$f(-2)$ 不能直接参与 $[0,+\infty )$ 上的比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：单调性定义的差商形式：差商恒正为增、恒负为减。

结论推广：偶函数在对称区间上单调性相反，比较负自变量先取相反数化到正区间。

方法推广：“化到同一单调区间”是抽象函数比大小的统一套路，奇偶性、周期性都是化归工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-12 单-抽象偶函数
• 2009-福建卷文-08 单-偶函数单调性
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式
• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性