2008-北京卷理-06 单-等差数列

本题导读

本题考查抽象递推关系式下数列特定项的求解，通过特殊的等式特征识别出等差数列模型，属于基础性质应用题。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 对任意的 $p,q\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 满足 $a_{p+q}=a_p+a_q$，且 $a_2=-6$，那么 $a_{10}$ 等于 ()

A. $-165$　　　　　　B. $-33$　　　　　　C. $-30$　　　　　　D. $-21$

🔍【思路分析】

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1. 根据递推关系 $a_{p+q}=a_p+a_q$，令 $p=n,q=1$ 得到 $a_{n+1}-a_n=a_1$，判定数列为等差数列。
2. 由 $a_2=-6$ 求出首项 $a_1$ 和公差 $d$。
3. 利用等差数列通项公式求出 $a_{10}$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

在递推关系 $a_{p+q}=a_p+a_q$ 中，令 $p=n,q=1$， 可得 $a_{n+1}=a_n+a_1$，即 $a_{n+1}-a_n=a_1$（常数）。 由此可知，数列 $\{a_n\}$ 是以 $a_1$ 为首项，$d=a_1$ 为公差的等差数列。 所以 $a_n=n\cdot a_1$。 因为 $a_2=-6$，所以 $2\cdot a_1=-6⟹a_1=-3$。 则 $a_{10}=10\cdot a_1=10\times (-3)=-30$。 故选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的定义，抽象函数的离散化递推模型。
2. 核心方法：赋值法。通过对参数 $p,q$ 进行合理赋值，使抽象关系演变为具体的递推公式。
3. 避坑指南：不要误用等比数列或其他复杂模型，$f(x+y)=f(x)+f(y)$ 是正比例函数（在数列中为等差数列）的经典特征。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题原型为克莱姆（柯西）函数方程在正整数集上的离散形式，属于教材中等差数列定义的延伸创新。
2. 结论推广: 若数列满足 $a_{p+q}=a_p+a_q$，则 $a_n=n\cdot a_1$；若满足 $a_{p+q}=a_p\cdot a_q$ ($a_n>0$)，则数列 $\{a_n\}$ 为等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-12 填-等差数列
• 2009-大纲卷I文-14 填-等差数列中项
• 2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和