2009-大纲卷II文-17 解-等差数列求和

本题导读

等差数列基本量。$a_4+a_6=a_3+a_7=0$ 结合 $a_3{a}_7=-16$ 解出 $a_3=\pm 4$，对应 $d=\mp 2$，分两情形求 $S_n$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3{a}_7=-16$，$a_4+a_6=0$，求 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

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1. $a_4+a_6=a_3+a_7=0$，故 $a_3$、$a_7$ 是 $t^2-16=0$ 的两根且异号：$\{a_3,a_7\}=\{4,-4\}$。
2. 情形一：$a_3=-4$，$a_7=4$，$d=2$，$a_1=-8$，$a_n=2n-10$，$S_n=n(n-9)$。
3. 情形二：$a_3=4$，$a_7=-4$，$d=-2$，$a_1=8$，$a_n=10-2n$，$S_n=-n(n-9)$。

✅【答案】

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$S_n=n(n-9)$ 或 $S_n=-n(n-9)$

✍【详细解析】

Abstract

由等差数列性质，$a_4+a_6=a_3+a_7=0$。 又 $a_3{a}_7=-16$，故 $a_3$、$a_7$ 是方程 $t^2-16=0$ 的两根且一正一负，即 $\{a_3,a_7\}=\{-4,4\}$。

情形一：$a_3=-4$，$a_7=4$。公差 $d=\frac{a_7-a_3}{4}=2,a_1=a_3-2d=-8,$ 故 $a_n=-8+2(n-1)=2n-10$， $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(-8+2n-10)}{2}=n(n-9).$

情形二：$a_3=4$，$a_7=-4$。同理 $d=-2$，$a_1=8$，$a_n=10-2n$， $S_n=\frac{n(8+10-2n)}{2}=-n(n-9).$ 综上，$S_n=n(n-9)$ 或 $S_n=-n(n-9)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量与前 n 项和

核心方法：中项性质转化 + 两情形讨论

避坑指南：$a_4+a_6=a_3+a_7$ 是等差中项的平移性质；$a_3$、$a_7$ 谁正谁负两种情形都要写，只答一种丢一半分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列基本量问题先化对称结构。

结论推广：下标和相等则项和相等：$a_3+a_7=a_4+a_6=2a_5$。

方法推广：由积与和解基本量时，两根的顺序对应公差的符号，须分别作答。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和
• 2012-湖北卷文-20 解-等差数列与绝对值求和