2008-北京卷理-07 单-圆

本题导读

本题考查圆的切线与性质、轴对称变换的几何意义。通过分析两条切线关于定直线对称的临界状态，确定切线顶点的准确坐标，进而利用直角三角形的边角关系求解夹角。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 过直线 $y=x$ 上的一点作圆 $(x-5{)}^2+(y-1{)}^2=2$ 的两条切线 $l_1,l_2$，当直线 $l_1,l_2$ 关于 $y=x$ 对称时，它们之间的夹角为 ()

A. $30^{\circ }$　　　　　　　B. $45^{\circ }$　　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　　D. $90^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心为 $C(5,1)$，半径 $R=\sqrt{2}$。设直线 $y=x$ 上的动点为 $P$。
2. 根据圆的性质，过圆外一点 $P$ 作圆的两条切线，这两条切线必然关于连线 $PC$ 对称（即 $PC$ 是两条切线夹角的角平分线）。
3. 题目已知 $l_1,l_2$ 关于直线 $y=x$ 对称，这意味着直线 $y=x$ 也必须是这两条切线夹角的角平分线（或与之垂直）。
4. 结合圆心 $C(5,1)$ 不在 $y=x$ 上的事实，判定直线 $PC$ 必与 $y=x$ 垂直，从而确定点 $P$ 的坐标，利用 Rt$△$ 的边角关系求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

已知圆的圆心为 $C(5,1)$，半径 $R=\sqrt{2}$。 设 $P$ 为直线 $y=x$ 上的一点，由圆的几何性质可知，过点 $P$ 向圆引两条切线 $l_1,l_2$，直线 $PC$ 必为 $l_1,l_2$ 的角平分线所在的直线。 又因为 $l_1,l_2$ 关于直线 $y=x$ 对称，所以直线 $y=x$ 也是 $l_1,l_2$ 夹角的平分线（或垂直平分线）。 由于圆心 $C(5,1)$ 不在直线 $y=x$ 上，所以直线 $PC$ 不可能与 $y=x$ 重合。 因此，直线 $PC$ 必与直线 $y=x$ 垂直。 因为直线 $y=x$ 的斜率为 $1$，所以直线 $PC$ 的斜率必为 $-1$。 设 $P(t,t)$，则 $k_{PC}=\frac{t-1}{t-5}=-1⟹t-1=-t+5⟹t=3$。 所以点 $P$ 的坐标为 $(3,3)$。 此时，圆心 $C$ 到点 $P$ 的距离为 $PC=\sqrt{(5-3{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$。 设两条切线的夹角为 $\theta$，在一半角的直角三角形中： $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{R}{PC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ 因为 $\frac{\theta }{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\frac{\theta }{2}=30^{\circ }⟹\theta =60^{\circ }$。 故选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的切线长定理及对称性，两直线关于定直线对称的斜率与位置特征。
2. 核心方法：数形结合，利用“双重对称性”锁定垂直关系是破题关键。
3. 避坑指南：容易误认为 $y=x$ 必须经过圆心，由于圆心不在 $y=x$ 上，对称轴还可以是与角平分线垂直的另一条对称轴。此外，最后求得 $\frac{\theta }{2}=30^{\circ }$ 后切勿漏掉乘以2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题考查解析几何中“对称”与“圆的性质”的有机结合，源自对圆的外切线几何对称网络结构的深层发掘。
2. 结论推广: 过定直线 $l_1$ 上的点 $P$ 向圆引两条切线，若切线关于 $l_1$ 对称，则当圆心不在 $l_1$ 上时，连线 $PC\perp l_1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-18 解-直线与圆双弦
• 2009-辽宁卷文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2009-重庆卷理-01 单-直线与圆的位