2008-北京卷理-08 单-立体几何

本题导读

本题是一道立体几何与函数图象相结合的压轴信息题。考查动点在正方体对角线上移动时，其垂线段被正方体表面截得线段长度的变化规律，侧重考查空间想象能力和动态函数建模能力。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 如图，动点 $P$ 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的对角线 $B{D}_1$ 上.过点 $P$ 作垂直于平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的直线，与正方体表面相交于 $M,N$.设 $BP=x$，$MN=y$，则函数 $y=f(x)$ 的图象大致是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确立空间几何方向：平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 是正方体的对角面，在底面 $ABCD$ 中，$AC\perp BD$，且 $AC\perp B{B}_1$，因此垂直于平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的直线方向必然平行于 $AC$（或 $A_1{C}_1$）。
2. 分析动态截线段：当点 $P$ 从 $B$ 沿对角线 $B{D}_1$ 运动到 $D_1$ 的过程中，过 $P$ 且平行于 $AC$ 的直线在正方体内部水平穿过。
3. 定量或定性推导：利用正方体的对称性，运动前半段与后半段具有完全的对称性。在水平面上，线段 $MN$ 的长度与高度 $z$ 以及水平投影呈线性比例关系，从而确定其属于分段的一元一次函数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设正方体的棱长为 $1$，则对角线 $B{D}_1=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$，所以 $x\in [0,\sqrt{3}]$。 在正方体中，因为 $AC\perp BD$ 且 $AC\perp B{B}_1$，所以 $AC\perp$ 平面 $B{B}_1{D}_{1}D$。 因此，过点 $P$ 垂直于平面 $B{B}_1{D}_{1}D$ 的直线必然平行于 $AC$（或 $A_1{C}_1$）。 即线段 $MN$ 始终处于与 $AC$ 平行的方向上。

当点 $P$ 在 $B{D}_1$ 的中点（即正方体的中心）时，直线 $MN$ 恰好在正方体的中心截面上，此时 $MN$ 的两个端点分别为 $A$ 和 $C_1$ 的投影？不是，其水平方向平行于 $AC$，通过中心时其长度达到最大值，即为对角线 $AC=\sqrt{2}$。 当点 $P$ 在端点 $B$ 或 $D_1$ 时，直线退化为点，长度 $y=0$。

为了得到精确的函数关系，引入空间直角坐标系或利用平面截线性质： 由于正方体各个面都是线性的平面，当点 $P$ 匀速沿直线 $B{D}_1$ 移动时，直线 $MN$ 的端点在正方体的平行侧面上（或棱上）也是匀速线性滑动的。 在 $P$ 从 $B$ 运动到对角线中点的过程中（即 $x\in \left[0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$），线段 $MN$ 的长度 $y$ 随着高度和宽度的增加呈线性正比例递增，解析式为一元一次函数 $y=kx$； 由对称性，在后半段（即 $x\in \left[\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right]$），$y$ 呈线性递减，解析式为 $y=-kx+b$。 整个运动过程中的函数 $y=f(x)$ 是一个轴对称的“折线形”图象（三角形结构），不含有曲线特征，也没有中间恒定不变的平台。 对照选项，只有(B)符合折线形（等腰三角形）特征。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质定理（转化出平行方向 $AC$），动态几何体截线段长度的函数建模。
2. 核心方法：特征位置定性分析与线性趋势判定法。
3. 避坑指南：容易错误凭借直觉选择含有圆弧曲线的选项（C或D），必须注意到正方体的所有边界表面全为平面，其交线必然产生线性的距离变化，从而对应一元一次（直线段）函数图象。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是立体几何的经典投影与截面轨迹题，考查了三维空间图形向二维函数坐标系的投影转换。
2. 结论推广: 若在多面体（如长方体、正棱锥）中沿着某条直线路径做平行于某特定截面的截线，其长度或截面积的变化函数，在不跨越顶点边界的连续区域内，均表现为一元一次或一元二次的多项式函数，其对应图象必然由直线段或抛物线弧构成。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-13 填-奇函数与等差中项