2008-北京卷理-15 解-三角恒等

本题导读

本题考查利用三角诱导公式、二倍角降幂公式及辅助角公式将复杂的三角函数式化为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的形式，并考查正弦型函数的最小正周期公式和闭区间上的取值范围。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(理)） 已知函数 $f(x)={\sin }^2\omega x+\sqrt{3}\sin \omega x\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)(\omega >0)$ 的最小正周期为 $\pi$.

(1) 求 $\omega$ 的值；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 利用诱导公式 $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \omega x$ 简化第二项，再利用降幂公式和二倍角公式对解析式进行恒等变形，通过辅助角公式化为正弦型函数。
2. 根据周期公式 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\pi$ 求解 $\omega$ 的值。
3. 将 $\omega$ 代入解析式，根据自变量 $x$ 的区间推导整体相位的取值范围，结合正弦函数图象特征求出取值范围。

✅【答案】

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（1）𝜔=1.（2）函数𝑓(𝑥)在区间[0,2π3]上的取值范围为[0,32].

✍【详细解析】

Abstract

解： 先化简函数 $f(x)$ 的解析式： 因为 $\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \omega x$， 所以 $f(x)={\sin }^2\omega x+\sqrt{3}\sin \omega x\cos \omega x$ $=\frac{1-\cos 2\omega x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\omega x$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\omega x-\frac{1}{2}\cos 2\omega x+\frac{1}{2}$ $=\sin \left(2\omega x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$。

(1) 由题意，函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$， 则 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }=\pi$。 因为 $\omega >0$，解得 $\omega =1$。

(2) 由(1)知 $\omega =1$，所以 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}$。 因为 $x\in \left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$， 所以 $2x\in \left[0,\frac{4\pi }{3}\right]$， 从而 $2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$。 令 $u=2x-\frac{\pi }{6}$，当 $u\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$ 时： 由正弦函数图象可知， 当 $u=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin u$ 取得最大值 $1$； 当 $u=-\frac{\pi }{6}$ 或 $u=\frac{7\pi }{6}$ 时，$\sin u$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$。 所以 $-\frac{1}{2}\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\le 1$。 故 $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+\frac{1}{2}\le 1+\frac{1}{2}$，即 $0\le f(x)\le \frac{3}{2}$。 所以函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\frac{2\pi }{3}\right]$ 上的取值范围为 $\left[0,\frac{3}{2}\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换（降幂与辅助角公式的混合应用），正弦型函数的周期性与有界性。
2. 核心方法：整体代换法。将复合角 $2x-\frac{\pi }{6}$ 视为整体，再在标准正弦曲线中寻找最值点。
3. 避坑指南：在第(2)问计算整体相位的范围时，不要漏掉图象的最高点（波峰 $\frac{\pi }{2}$ 落在 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}\right]$ 内部），从而错误地直接用端点值相减。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高考三角解答题第一道题的经典代表，改编自人教A版必修4中关于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 图象与性质的综合复习题。
2. 结论推广: 针对区间最值问题，务必先通过单调区间划分或结合图象，确定区间内是否存在极值点（如 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 或 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数