2008-四川卷文-17 解-三角换元二次最值

本题导读

$4{\cos }^{2}x-4{\cos }^{4}x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=4t^2$，$y=4(t-\frac{1}{2}{)}^2+6$：最小 6、最大 10.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 求函数 $y=7-4\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x-4{\cos }^{4}x$ 的最大值与最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

后两项提出 $4{\cos }^{2}x$ 用平方关系化成 $4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$；$t=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 锁定范围 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$，开口向上对称轴 $t=\frac{1}{2}$ 恰在端点.

✅【答案】

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最大值为 10，最小值为 6

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=\sin x\cos x$．由 $t=\frac{1}{2}\sin 2x$，得 $-\frac{1}{2}⩽t⩽\frac{1}{2}$．又 $4{\cos }^{2}x-4{\cos }^{4}x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=4t^2$，所以 $y=4t^2-4t+7=4(t-\frac{1}{2}{)}^2+6$．当 $t=\frac{1}{2}$ 时，$y$ 取得最小值 6；当 $t=-\frac{1}{2}$ 时，$y$ 取得最大值 10．因此最大值为 10，最小值为 6.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的最值

核心方法：换元 $t=\sin x\cos x\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$，二次函数在端点取最值

避坑指南：$4{\cos }^{2}x-4{\cos }^{4}x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 靠平方关系；对称轴 $t=\frac{1}{2}$ 恰在区间右端点——最小在端点、最大在另一端点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角换元 + 二次函数最值，三角解答题入门型

结论推广：$\sin x\cos x$ 型换元后范围为 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

方法推广：换元先定范围再配方；对称轴在端点附近时最值都在端点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

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