2013-四川卷理-17 解-降幂公式与两角和的余弦公式

本题导读

本题考查降幂公式与两角和的余弦公式。核心在于公式法、正余弦定理结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $2{\cos }^2\frac{A-B}{2}\cos B-\sin (A-B)\sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$

(1)求 $\cos A$ 的值；

(2)若 $a=4\sqrt{2}$，$b=5$，求向量 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 方向上的投影.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（化简求值）：
   • 使用降幂公式：$2{\cos }^2\theta =1+\cos 2\theta$，处理第一项。
   • 利用诱导公式 $\cos (A+C)=\cos (\pi -B)=-\cos B$ 处理最后一项。
   • 展开并利用两角和的余弦公式 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 进行合并化简。
2. 第二问（向量投影）：
   • 概念明确：向量 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 方向上的投影为 $|\overrightarrow{BA}|\cos B=c\cos B$。
   • 利用正弦定理求出 $\sin B$，进而确定角 $B$。
   • 利用余弦定理求出边长 $c$。
   • 代入投影公式求解。

✅【答案】

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$\cos A=-\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由 $2{\cos }^2\frac{A-B}{2}=1+\cos (A-B)$ 代入原式得： $[1+\cos (A-B)]\cos B-\sin (A-B)\sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$ 展开得： $\cos B+\cos (A-B)\cos B-\sin (A-B)\sin B+\cos (A+C)=-\frac{3}{5}$

由于在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，所以 $\cos (A+C)=\cos (\pi -B)=-\cos B$。 代入化简得： $\cos B+[\cos (A-B)\cos B-\sin (A-B)\sin B]-\cos B=-\frac{3}{5}$ $\cos (A-B+B)=-\frac{3}{5}$ 即 $\cos A=-\frac{3}{5}$。

（Ⅱ）解： 因为 $\cos A=-\frac{3}{5}$，且 $A\in (0,\pi )$，则 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$。 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{5\times \frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

因为 $a=4\sqrt{2}\approx 5.66$，$b=5$，由于 $a>b$，则 $A>B$。 由于 $A$ 是钝角，故 $B$ 必为锐角，所以 $B=\frac{\pi }{4}$，则 $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

根据余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$： $(4\sqrt{2}{)}^2=5^2+c^2-2\times 5\times c\times (-\frac{3}{5})$ $32=25+c^2+6c⟹c^2+6c-7=0$ 解得 $c=1$ 或 $c=-7$（舍去）。

向量 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 方向上的投影为： $|\overrightarrow{BA}|\cos B=c\cos B=1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换是基本功，特别是“降幂”与“和差”的转化。

核心方法：“向量问题几何化”。投影的本质就是边长与夹角余弦的乘积，直接寻找 $c$ 和 $\cos B$。

避坑指南：- 第二问中通过正弦定理求出 $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 后，必须通过边的大小关系确认 $B$ 是锐角，否则直接取 $\frac{3\pi }{4}$ 会出错。 - 投影是有正负号的标量，不要加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形面积公式、辅助角公式。

结论推广：在解三角形中，若给出 $\cos A$，往往优先考虑余弦定理求边，或正弦定理求角。

方法推广：向量投影公式为 ${\text{Proj}}_{\vec{b}}\vec{a}=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=|\vec{a}|\cos \theta$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式