2008-四川卷文-20 解-五次函数极值定参

本题导读

$f^{\prime }(1)=f^{\prime }(2)=0$：$5+3a+b=0$、$80+12a+b=0$ $\Rightarrow$ $a=-\frac{25}{3}$、$b=20$；$f^{\prime }=5(x^2-1)(x^2-4)$，增 $(-\infty ,-2)$、$(-1,1)$、$(2,+\infty )$，减 $(-2,-1)$、$(1,2)$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 设 $x=1$ 和 $x=2$ 是函数 $f(x)=x^5+a{x}^3+bx+1$ 的两个极值点.

(1)求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)求 $f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

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(1)可导函数极值点处导数为 0，两个条件两个未知数. (2)$f^{\prime }$ 是 $x^2$ 的二次式，令 $m=x^2$ 因式分解，四个根 $-2,-1,1,2$ 把数轴分五段列表.

✅【答案】

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(1)$a=-\frac{25}{3}$，$b=20$；(2)增区间 $(-\infty ,-2)$，$(-1,1)$，$(2,+\infty )$；减区间 $(-2,-1)$，$(1,2)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因为 $f(x)$ 可导，且 $x=1$，$x=2$ 是极值点，所以 $f^{\prime }(1)=f^{\prime }(2)=0$．由 $f^{\prime }(x)=5x^4+3a{x}^2+b$，得 $\{\begin{array}{l}5+3a+b=0,\\ 80+12a+b=0.\end{array}$两式相减得 $9a+75=0$，所以 $a=-\frac{25}{3}$，代回得 $b=20$. (2)由 $a=-\frac{25}{3}$，$b=20$，得 $f^{\prime }(x)=5x^4-25x^2+20=5(x^2-1)(x^2-4)$．当 $x\in (-\infty ,-2)\cup (-1,1)\cup (2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (-2,-1)\cup (1,2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$．因此 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-2)$，$(-1,1)$，$(2,+\infty )$，单调递减区间为 $(-2,-1)$，$(1,2)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与极值点

核心方法：极值点 $\Rightarrow f^{\prime }=0$，解方程组定参；四次式按 $x^2$ 因式分解

避坑指南：$f^{\prime }(x)=5x^4+3a{x}^2+b$ 没有 $x^3$、$x$ 项；两式相减消 $b$ 最快；单调区间要按四个根分段完整写出

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多项式函数极值定参，导数解答题基础版

结论推广：$f(x)=x^5+a{x}^3+bx$ 是奇函数加常数，极值点成对出现

方法推广：偶次导函数按 $x^2$ 换元分解；列表定号写全区间

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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