2008-四川卷文-21 解-和式递推构造等差

本题导读

$a_1=2$，$a_2=6$，$a_3=16$，$a_4=40$；$a_{n+1}-2a_n=2^n$；$u_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$ 满足 $u_{n+1}=u_n+1$，$a_n=(n+1)2^{n-1}$.

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2a_n-2^n$.

(1)求 $a_3$，$a_4$；

(2)证明：数列 $\{a_{n+1}-2a_n\}$ 是等比数列；

(3)求 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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(1)$S_n$ 逐个代 $n=1,2,3,4$. (2)$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 展开消去 $S$，直接得 $a_{n+1}-2a_n=2^n$，相邻项比为常数 2. (3)递推式两边除以 $2^n$：$\frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{a_n}{2^{n-1}}+1$，$u_n$ 是首项 2 公差 1 的等差数列.

✅【答案】

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(1)$a_3=16$，$a_4=40$；(2)证明见解析；(3)$a_n=(n+1)2^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)令 $n=1$，由 $S_1=a_1=2a_1-2$，得 $a_1=2$．令 $n=2$，由 $S_2=a_1+a_2=2a_2-4$，得 $a_2=6$．令 $n=3$，由 $S_3=a_1+a_2+a_3=2a_3-8$，得 $a_3=16$．令 $n=4$，由 $S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=2a_4-16$，得 $a_4=40$. (2)对任意正整数 $n$，由 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 及已知条件，得 $S_n+a_{n+1}=2a_{n+1}-2^{n+1}$，即 $a_{n+1}=2a_n+2^n$，故 $a_{n+1}-2a_n=2^n$．因此数列 $\{a_{n+1}-2a_n\}$ 的第 $n$ 项为 $2^n$，首项为 $2^1=2\ne 0$，相邻两项的比为 2，所以它是等比数列. (3)由上式 $a_{n+1}=2a_n+2^n$．令 $u_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$，则 $u_1=2$，且 $u_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{2^n}=\frac{2a_n+2^n}{2^n}=u_n+1$.所以 $u_n=u_1+n-1=n+1$，从而 $a_n=(n+1)2^{n-1}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和式递推与构造法

核心方法：$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ 消 $S$ 得递推；除以 $2^{n-1}$ 构造等差

避坑指南：$S_n=2a_n-2^n$ 里作差时 $-2^{n+1}$ 与 $-2^n$ 相减得 $-2^n$，指数要跟着 $n+1$ 走；$u_n=\frac{a_n}{2^{n-1}}$ 的分母指数要与递推系数 2 匹配

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$S_n$ 与 $a_n$ 混合递推，构造法求通项的代表题（2009 四川理 21 同型）

结论推广：$a_{n+1}=2a_n+2^n$ 型除以 $2^n$ 构造等差，更一般的 $a_{n+1}=p{a}_n+q^n$ 除以 $q^n$

方法推广：构造法三步：定除数 → 验证等差/等比 → 回代

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2010-四川卷理-21
• 2007-四川卷理-21 解-等比数列证明通项公式
• 2016-四川卷理-05