2008-四川卷理-03 单-三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） $(\tan x+\cot x){\cos }^{2}x=$ ()

A. $\tan x$　　　　　　　B. $\sin x$　　　　　　　C. $\cos x$　　　　　　　D. $\cot x$

🔍【思路分析】

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1. 利用商数关系将切函数 $\tan x$、$\cot x$ 转化为弦函数 $\sin x$、$\cos x$。
2. 通分简化括号内的各项，再与括号外的 ${\cos }^{2}x$ 相乘化简。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$(\tan x+\cot x){\cos }^{2}x=\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right){\cos }^{2}x$ $=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}\cdot {\cos }^{2}x$ $=\frac{1}{\sin x\cos x}\cdot {\cos }^{2}x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数的商数关系（$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$）及平方关系（${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$）。
2. 核心方法：切化弦法。
3. 避坑指南：注意隐藏的定义域条件，等式成立的前提是 $\sin x\ne 0$ 且 $\cos x\ne 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材三角函数恒等变形章节的经典题型。
2. 结论推广：在二倍角公式背景下，常用变形为 $\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数