2008-四川卷理-05 单-三角

本题导读

本题考查辅助角公式、三角不等式的求解。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年四川卷(理)） 若 $0⩽\alpha ⩽2\pi$, $\sin \alpha >\sqrt{3}\cos \alpha$, 则 $\alpha$ 的取值范围是 ()

A. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)$　　　　B. $\left(\frac{\pi }{3},\pi \right)$　　　　C. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right)$　　　　D. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{3\pi }{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将不等式移项，利用辅助角公式化简为 $2\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)>0$。
2. 根据 $\alpha$ 的取值范围确定 $\alpha -\frac{\pi }{3}$ 的范围，解出正弦不等式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

原不等式可变形为：$\sin \alpha -\sqrt{3}\cos \alpha >0$。 利用辅助角公式化简得： $2\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)>0⟹\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)>0$ 因为 $0⩽\alpha ⩽2\pi$， 所以 $-\frac{\pi }{3}⩽\alpha -\frac{\pi }{3}⩽\frac{5\pi }{3}$。 要在该范围内满足 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)>0$，只需： $0<\alpha -\frac{\pi }{3}<\pi$ 解得 $\frac{\pi }{3}<\alpha <\frac{4\pi }{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和与差的正弦公式（辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$）。
2. 核心方法：整体代换法求三角不等式的解集。
3. 避坑指南：不可直接两边除以 $\cos \alpha$（因为其正负号未定导致不等号方向不确定），必须使用恒等变形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中有关三角恒等变换与基本三角不等式求解的常规训练题。
2. 结论推广：对于常见形式 $\sin x>\cos x$ 可直接数形结合或用 $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)>0$ 求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式